Fuerza de tensión - Comprensión del tensor de tensión de Cauchy

Question

Llevo mucho tiempo tratando de entender la derivación de la ecuación del momento de Cauchy, y hay una parte que todas las derivaciones pasan por alto muy rápidamente sin prácticamente ninguna explicación (supongo que suponen que el lector ya la conoce).

La parte con la que estoy atascado es cómo relacionan el tensor de tensión, $\sigma_{ji}$ a la suma de las fuerzas" sobre un bloque infinitesimal de volumen $dV$ . Te voy a dar un poco el contexto de la situación en la que me encuentro. Así es como va esta parte de cada derivación.

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Suponga que tiene un volumen diferencial/infinitesimal [prisma rectangular] de fluido $dV$ , longitudes laterales $dx_j$ densidad $\rho$ y la aceleración en el $i^{\textrm{th}}$ dirección $a_i$ . Aplicando la segunda ley de Newton por unidad de volumen en el $i^{\textrm{th}}$ dirección nos da

$$\rho\,a_i = \sum F_i, \,\,\,\,\textrm{$ \N - suma F_i $ is the net body force in the $ i^{\textrm{th}} $ direction}$$

Ahora para la fuerza neta del cuerpo en el $i^{\textrm{th}}$ dirección, tenemos las fuerzas externas del cuerpo $f$ y las fuerzas de tensión [superficie realmente], que se da como la tasa de variación de la tensión en el $i^{\textrm{th}}$ dirección, $\sum \limits_{j} \frac{\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j}$ . Así, tenemos por la segunda ley de Newton por unidad de volumen de fluido en el $i^{\textrm{th}}$ dirección,

$$\rho\,a_i=f_i + \sum \limits_{j} \frac{\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j}$$

Así, la fuerza total (toda la ecuación anterior multiplicada por el volumen de la unidad de fluido a la que pertenece) viene dada por

$$\rho\,a_i\,dV = f_i\,dV + \sum \limits_{j} \frac{\partial \sigma_{ji}}{\partial x_j}dV$$

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¿Cómo es posible que la fuerza de tensión total en una dirección determinada (utilizada como fuerza del cuerpo) sea la tasa de variación de la tensión en esa dirección? Veo cómo funcionan las unidades, pero no veo ninguna lógica detrás de ello. Yo pensaba que $\sigma_{ji}$ representaba la tensión (fuerza por unidad de superficie) en el $dx_j$ lado que apunta a la $i$ dirección. Si ese es el caso, ¿cómo se relaciona esa fuerza superficial con ser una fuerza del cuerpo, especialmente en la forma en que se indica arriba (diciendo que es la tasa de variación de la tensión en esa dirección)?

Por favor, ayúdame.

Answer 1

¿cómo en la tierra.....? Una posible forma de verlo es así, consideremos un cubito de longitud $l$ entonces la fuerza de tensión en el $i$ dirección que actúa sobre $j$ El elemento de superficie es $-\sigma_{ji}(x_i,x_j,x_k)*dA$ donde $dA=l^2$ . La fuerza en el $i$ la dirección que actúa sobre el otro elemento de superficie paralelo al primero es $\sigma_{ji}(x_i+dx_i,x_j,x_k)*dA$ por lo que la fuerza de tensión total que actúa en el $i$ La dirección es $$(\sigma_{ji}(x_i+dx_i,x_j,x_k)-\sigma_{ji}(x_i,x_j,x_k))*dA$$ Ahora divide por el elemento de volumen $dV=dx_idx_jdx_k$ y considerar $dA=dx_idx_k$ para obtener $$f_i^{(j)}=\frac{\sigma_{ji}(x_i+dx_i,x_j,x_k)-\sigma_{ji}(x_i,x_j,x_k)}{dx_j}=\frac{\partial\sigma_{ji}}{\partial x_j}$$ Entonces la fuerza total por unidad de volumen en el $i$ La dirección está dada por la ecuación deseada

Answer 2

Hagámoslo en 1D para simplificar: se considera una porción de hilo de longitud $dL$ y la sección $S$ con una densidad de fuerza corporal neta $f$ , digamos que $f=\rho S g$ donde $\rho S$ es la densidad de masa lineal. En $dL$ También tienes el estrés del resto del hilo, que son $T_+ = \sigma_{zz} (z+dL) S$ en el $z+dL$ fin y $T_- = -\sigma_{zz}(z) S$ en el otro extremo.

Así que: $\rho S a_z dL = T_+ + T_- + f dL$ . Dividir por $dL$ y hacerla llegar a 0 para recuperar el $\partial_z \sigma_{zz}$ plazo.