Serie generadora y relación de recurrencia y forma cerrada

Question

Tenemos la siguiente relación de recurrencia:

$b_n=2b_{n-1}+b_{n-2}$

y las condiciones iniciales $b_0=0, b_1=2$

Utilizo el método de las series generadoras para resolver lo siguiente:

Dejemos que

$B(x)=b_0+b_1x+b_2x^2+...+b_nx^n+...$

$-xB(x)=-b_0x-b_1x^2-...-b_{n-1}x^n-...$

$-x^2B(x)=-b_0x^2-b_1x^3+...-b_{n-2}x^n+...$

Después de cancelar los términos obtengo

$(1-x-x^2)B(x)=b_0+(b_1-2b_0)x$

Y utilizando las condiciones iniciales y aislando $B(x)$

$B(x)={2x\over (1-x-x^2)}$

Cuando factorizo la cuadrática en el denominador obtengo raíces:

$x_1={-1-\sqrt{5}\over 2}$ y $x_2={-1+\sqrt{5}\over 2}$

Tengo problemas para completar la pregunta usando fracciones parciales a partir de este punto, agradecería si alguien me pudiera ayudar

Tengo que utilizar el método de generación de series

Answer 1

Cambia los índices para obtener:

$$ b_{n + 2} = 2 b_{n + 1} + b_n $$

Definir la función generadora:

$$ B(z) = \sum_{n \ge 0} b_n z^n $$

Multiplica la recurrencia por $z^n$ , suma sobre $n \ge 0$ y reconocer las sumas resultantes:

$$ \frac{B(z) - b_0 - b_1 z}{z^2} = 2 \frac{B(z) - b_0}{z} + B(z) $$

Como fracciones parciales:

$\begin{align} B(z) &= \frac{2z}{1 - 2 z - z^2} \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{1 - (1 + \sqrt{2}) z} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{1 - (1 - \sqrt{2}) z} \end{align}$

Son sólo dos series geométricas:

$\begin{align} b_n &= \frac{\sqrt{2}}{2} \left( (1 + \sqrt{2})^n - (1 - \sqrt{2})^n \right) \end{align}$