Ayuda a demostrar que la función es diferenciable en $\mathbb{R}$

Question

Que la función $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ sea diferenciable en $a=0$ . Y también deja:

$$f(x+y)=f(x)(f(y))^2$$

Tengo que demostrar que la función es diferenciable en $\mathbb{R}$ .

Me pregunto si puedo utilizar la definición por límite para este tipo de tareas.

$$\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ tiene que existir para demostrar que es diferenciable.

$$\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x)f(h)^2-f(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x)(f(h)^2-1)}{h}$$ Eso es lo que entiendo pero cómo puedo ir más allá, dónde puedo usar que es diferenciable en $a=0$

Y es este el enfoque correcto, cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

De hecho, los supuestos implican que $f$ es una constante.

prueba: Supongamos que hay algún $x_0$ con $f(x_0)=0$ . Entonces, para cualquier $x$ tenemos $$f(x)=f(x-x_0+x_0)=f(x-x_0)\,\left(f(x_0)\right)^2=0$$ por lo que en este caso la función es idéntica $0$ .

Alternativamente, suponga que $f(x)\neq 0\,\, \forall x$ . A continuación, tome dos valores $x,y$ . Tenemos $$f(x+y)=f(y+x)\implies f(x)\,\left( f(y) \right)^2 = f(y)\,\left( f(x) \right)^2\implies f(x)=f(y)$$

y hemos terminado.

Nota: Supongamos que $f(x)=c$ para alguna constante $c$ Entonces tenemos $$c=f(x)=f(x+0)=f(x)\, \left( f(0) \right)^2=c^3$$ Así, $c=c^3$ así que $c=0,\pm 1$ . Cualquiera de ellos es posible.

Answer 2

Si ponemos $x=y=0$ obtenemos $f(0)=f(0)^3$ así que $f(0)\in \{0,1,-1\}$ .

a) Así que si $f(0)=1$ tenemos

\begin{eqnarray*} \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x)f(h)^2-f(x)}{h} &=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x)(f(h)^2-1)}{h}\\ &=& f(x)\cdot\lim_{h\rightarrow0}\frac{(f(h)-1)(f(h)+1)}{h}\\ &=& f(x)\cdot \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(h)-f(0)}{h}\cdot \lim_{h\rightarrow0}(f(h)+1)\\ &=& f(x)f'(0)(f(0)+1)\\ &=& 2f(x)f'(0) \end{eqnarray*}

b) Si $f(0)=-1$ tenemos

\begin{eqnarray*} \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x)f(h)^2-f(x)}{h} &=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x)(f(h)^2-1)}{h}\\ &=& f(x)\cdot\lim_{h\rightarrow0}\frac{(f(h)-1)(f(h)+1)}{h}\\ &=& f(x)\cdot \lim_{h\rightarrow0}(f(h)-1)\cdot\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(h)-f(0)}{h}\\ &=& f(x)(f(0)-1)f'(0)\\ &=& -2f(x)f'(0) \end{eqnarray*}

c) Por fin, si $f(0)=0$ entonces para $y=0$ obtenemos $f(x)= f(x+0)= f(x)f(0)^2=0$ así que $f$ es constante y, por tanto, diferenciable.

Answer 3

Sugerencia $f$ diferenciable en $a = 0$ significa que para algunos $\ell$ , $$\frac{f(h) - f(0)}{h} \longrightarrow \ell$$

Answer 4

Estabas procediendo en la dirección correcta. Sólo hay que tener en cuenta que $$f(x+h)-f(x) =f(x) f(h)^{2}-f(x)f(0)^{2}=f(x)(f(h)+f(0))(f(h)-f(0))$$ y por tanto la derivada es igual a $f(x) \cdot 2f(0)\cdot f'(0)$ para que la función sea diferenciable para todo $x$ .