Dejemos que $f$ sea una función tal que $ \sqrt {x - \sqrt { x + f(x) } } = f(x) , $

Question

Dejemos que $f$ sea una función tal que $$ \sqrt {x - \sqrt { x + f(x) } } = f(x) , $$ para $x > 1$ . En ese ámbito, $f(x)$ tiene la forma $\frac{a+\sqrt{cx+d}}{b},$ donde $a,b,c,d$ son números enteros y $a,b$ son relativamente primos. Encuentra $a+b+c+d.$

Answer 1

Vamos a escribir $f$ para $f(x)$ . \begin{align} \sqrt{x-\sqrt{x+f}}&=f\\ x-\sqrt{x+f}&=f^2\\ \sqrt{x+f}&=-f^2+x\\ x+f&=f^4-2xf^2+x^2\\ 0&=f^4-2xf^2-f+x^2-x \end{align} Esto parece una ecuación muy fea de resolver. Queremos factorizarla de alguna manera (¿quizás haya alguna diferencia de cuadrados ahí? No lo veo...) Ya que no tenemos nada más que hacer, vamos a completar el cuadrado de la derecha. (¿Por qué? Bueno, espero que haya una diferencia de dos cuadrados en alguna parte, así que meter un cuadrado ahí parece un buen comienzo). \begin{align} 0&=f^4-2xf^2-f+x^2-x\\ 0&=f^4-2xf^2-f+\Big(x-\frac12\Big)^2-\frac14 \end{align} Ignoremos el $-\frac14$ al final sólo un segundo, y mira el resto. ¿Qué tenemos aquí? Bueno, $f^4-\textit{something}+(x-\frac12)^2$ . Esto es casi ¡una plaza! (Recuerde que $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ ; tenemos el $a^2$ y $b^2$ aquí).

Así que, vamos a intentar ver qué $(f^2-(x-\frac12))^2$ parece. (Quizás tengamos suerte y descubramos que lo nuestro realmente es un cuadrado).

\begin{align} \Big(f^2-(x-\tfrac12)\Big)^2&=f^4-2f^2(x-\frac12)+\Big(x-\frac12\Big)^2\\ &=f^4-2f^2x+f^2+\Big(x-\frac12\Big)^2 \end{align}

Drats - eso es casi lo que tenemos. Lo que tenemos es esa cosa, pero con una $-f$ en lugar de un $+f^2$ . En otras palabras, tenemos $\textit{that thing}-f^2-f$ . De todos modos, pongámoslo en nuestra ecuación anterior: \begin{align} 0&=f^4-2xf^2-f+\Big(x-\frac12\Big)^2-\frac14\\ &=\bigg(\Big(f^2-(x-\tfrac12)\Big)^2-f^2-f\bigg)-\frac14\\ &=\Big(f^2-(x-\tfrac12)\Big)^2-f^2-f-\frac14 \end{align} ¡Woah! Podemos factorizar eso... \begin{align} &=\Big(f^2-(x-\tfrac12)\Big)^2-(f+\tfrac12)^2 \end{align} Y de repente es la diferencia de dos plazas: \begin{align} &=\Big(f^2-(x-\tfrac12)+(f+\tfrac12)\Big)\Big(f^2-(x-\tfrac12)-(f+\tfrac12)\Big)\\ &=(f^2+f-x+1)(f^2-f-x) \end{align}

¡Woohoo! Hemos hecho un cálculo de esa bestia. El final está a la vista.

Ahora lo dividimos en dos ecuaciones: $f^2+f-x+1=0$ y $f^2-f-x=0$ . Cada uno de ellos nos da dos posibles soluciones. Después de usar la fórmula cuadrática, terminamos con $$\frac{-1\pm\sqrt{4x-3}}2,\frac{1\pm\sqrt{4x+1}}2$$ Ahora, tenemos que probar cada una de ellas para ver cuál funciona. En realidad, esto no es tan malo - podemos elegir una buena opción para $x>1$ para cada uno de ellos (preferiblemente una opción de $x$ que nos da muchos enteros) y ver si funcionan. (Por qué $x>1$ ? Porque eso es lo que dice el problema).

Por lo tanto, vamos a elegir buenos valores de $x$ y las introducimos en la ecuación original: $\sqrt{x-\sqrt{x+f}}=f$ .

Trabajar con $x=3$ las dos primeras soluciones me dan $1=1$ y $\sqrt2=-2$ respectivamente; trabajando con $x=2$ las dos últimas soluciones me dan $0=2$ y $1=-1$ respectivamente. Claramente, sólo la primera funciona; por lo tanto, la solución es:

$$f=\frac{-1+\sqrt{4x-3}}2$$

EDIT: Técnicamente, quieren que encuentres $a+b+c+d$ . Por lo tanto, la respuesta es $(-1)+(2)+(4)+(-3)=2$ .