Teorema de Bernstein sobre funciones monótonas. Caso no acotado

Question

El teorema de Bernstein sobre las funciones monótonas establece que las funciones acotadas $C^\infty$ función $f(x) \colon (0,+\infty) \to \mathbb{R}$ satisface las desigualdades $$ (-1)^n \frac{d^n f(x)}{dx^n} \geqslant 0 $$ para todos $x >0$ y para cualquier $n =0,1,\ldots$ si y sólo si existe una medida no negativa de Borel $\mu$ en $[0,+\infty)$ tal que $$ f(x) = \int\limits_0^{+\infty} e^{-\alpha x} \mathrm \, d \mu(\alpha). $$ Además, $f(+0) = \mu \left([0,+\infty)\right)$ y medir $\mu$ se define de forma única.

Mi pregunta es si es posible eliminar la condición de limitación de la función $f$ ?

Answer 1

Cuando $f$ está acotado, tenemos un finito medida no negativa $\mu$ . Finitud de $\mu$ está directamente relacionada con la acotación de $f$ por lo que renunciando a una también renunciamos a la otra. Los siguientes son equivalentes:

• $f$ satisface $(-1)^n \frac{d^n f(x)}{dx^n} \geqslant 0$ para todos $n\ge 0$ y todos $x>0$
• existe una medida no negativa de Borel $\mu$ en $[0,+\infty)$ tal que para todo $x>0$ la integral $\int\limits_0^{+\infty} e^{-\alpha x} \mathrm \, d \mu(\alpha)$ converge y es igual a $f(x)$ .

Referencias:

1. Funciones de Bernstein: Teoría y aplicaciones por René L. Schilling, Renming Song y Zoran Vondracek. Google Books con vista previa . Véase el teorema 1.4.
2. Convexidad: Un punto de vista analítico por Barry Simon. Google Books sin vista previa .