Dejemos que $M(\mathbb R)$ el espacio de medidas complejas de Borel con la norma $\Vert \mu \Vert = \vert \mu \vert(\mathbb R)$ , donde $\vert \mu \vert$ es la variación total de $\mu$ . Ahora considere para $\alpha \geq 0$ la norma $$ \Vert \mu \Vert_{\alpha} := \int_{\mathbb R} e^{\alpha \vert s \vert} \, \vert \mu \vert (ds)$$ en el espacio $M_\alpha(\mathbb R):= \{\mu \in M(\mathbb R): \Vert \mu \Vert_{\alpha} < \infty\}$ . Quiero demostrar que el conjunto de medidas con soporte compacto $M_c(\mathbb R)$ son densos en $M_\alpha(\mathbb R)$ (que es un álgebra de Banach).
No tengo ninguna idea concreta de cómo conseguirlo. Sé que $M_c(\mathbb R)$ es denso en $M(\mathbb R)$ y que $\Vert \mu \Vert \leq \Vert \mu \Vert_{\alpha}$ para todos $\mu \in M_\alpha(\mathbb R)$ . Pero no veo cómo obtener el resultado de esto.
