El mapa inducido por la inclusión tiene imagen $0$

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo y $I\subseteq R$ . Entonces la inclusión $\varphi:I^2\hookrightarrow I$ induce un mapa $$\varphi^*:Hom_R(I,R/I)\rightarrow Hom_R(I^2,R/I),\hspace{.5cm} \varphi^*(f)=f\circ\varphi$$ Quiero demostrar que $\text{im}(\varphi^*)=0$ .

Mis ideas: Dejemos que $x\in I^2$ y que $f:I\rightarrow R/I$ . Entonces basta con demostrar que $f(\varphi(x))\in I$ . No veo el truco aquí, pero creo que como la inclusión tiene un inverso a la izquierda, $\varphi^*$ será sobreyectiva (lo he demostrado).

Answer 1

Considere la secuencia exacta $0\to I^2\xrightarrow{\varphi} I\xrightarrow{\pi}I/I^2\to 0$ si se aplica el functor $\operatorname{Hom}_R(-,R/I)$ se obtiene la secuencia exacta $$ 0\to\operatorname{Hom}_R(I/I^2,R/I) \xrightarrow{\pi^*}\operatorname{Hom}_R(I,R/I) \xrightarrow{\varphi^*}\operatorname{Hom}_R(I^2,R/I) $$ y usted sabe por su pregunta Isomorfismo de conjuntos Hom que $\pi^*$ es un isomorfismo. Por exactitud, el núcleo de $\varphi^*$ contiene la imagen de $\pi^*$ . Por lo tanto, $\varphi^*$ es el mapa cero.

Answer 2

Una pista:

¿Cómo se describe un elemento de $I^2$ ?

Answer 3

Dejemos que $i,j\in I$ , $f(i.j)=i.f(j)$ desde $f$ es un homomorfismo de $R$ -módulos. Si $y\in R/I, i\in I, i.y=0$ Esto implica que $i.f(j)=0$ . $I^2$ es generado por $\{i.j; i,j\in I\}$ .