¿Se puede prescindir de un espacio clasificatorio cuando se demuestra la desaparición de la cohomología?

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo discreto y $A$ un grupo abeliano, entonces $H^n (G,A)$ puede definirse como $$ H^n (G,A) = H^n (B_G, A)$$ Dónde $B_G$ es el espacio clasificatorio de $G$ es decir $B_G = E_G / G$ donde $E_G$ es un espacio contráctil en el que $G$ actúa s.t. $\pi_1 (B_G) = G$ .

Ahora digamos que tienes una acción de $G$ en un complejo simplicial $Y$ y que la acción es simplicial, cocompacta y libre, pero $Y$ no es necesariamente contraíble. Supongamos que se sabe que (para una cantidad fija de $n$ ) $H^n (Y / G,A) = 0$ puede deducir que $H^n (G,A) = 0$ ?

(He intentado hacer esta pregunta hace un par de días, pero mi formulación era mala así que tuve que borrar y volver a preguntar)

Answer 1

No. Deja que $G = \mathbb{Z}/p$ y $Y = S^1$ . El grupo $G$ actúa sobre $Y$ de la forma habitual (el generador actúa como rotación por $2\pi/p$ ), y tenemos $Y/G \cong S^1$ . Por lo tanto, todos los grupos de homología de $Y/G$ por encima del grado $1$ desaparecen, pero los grupos de homología de $G$ son distintos de cero en infinitos grados.

Answer 2

Hay ciertos casos en los que la respuesta es afirmativa.

Si $Y$ es un programa gratuito $G$ -entonces la secuencia espectral de Cartan-Leray de la cubierta regular $Y\to Y/G$ es de la forma $$ H^p(BG;H^q(Y;A))\Rightarrow H^{p+q}(Y/G;A).$$ Por ejemplo, en el caso extremo de que $Y$ tiene el $A$ -cohomología de un punto, se tiene $H^\ast(BG;A)\cong H^\ast(Y/G;A)$ .

Debe haber otros casos en los que sea posible sacar conclusiones sobre la desaparición de la cohomología del grupo trabajando hacia atrás a través de esta secuencia espectral.

Referencia: Ken Brown, Cohomología de grupos, Sección VII.7.

Añadido: En particular, si $Y$ es un $\mathbb{Z}$ -complejo acíclico con un $G$ -entonces la dimensión cohomológica de $G$ es menor o igual que $\mathrm{dim}(Y)$ . Ver el MR de

Howie, James, Grupos Bestvina-Brady y la construcción del plus. Matemáticas. Proc. Cambridge Philos. Soc. 127 (1999), no. 3, 487-493

para ver un ejemplo de aplicación.

Answer 3

Se obtiene un resultado útil si $Y$ no es contraíble, sino que está muy conectada. Si $\tilde{H}_i(Y)=0$ para $i \leq m$ entonces el mapa natural (hasta la homotopía) $Y/G \to BG$ es una equivalencia homológica en grados menores que $n$ .

Answer 4

Para resaltar el supuesto de alta conectividad en la respuesta de Johannes, debo señalar que para cualquier $G$ Siempre se puede tomar $Y = G$ (un complejo simplicial con sólo vértices, ya que $G$ es discreto). Entonces se tiene una acción libre simplicial, cocompacta, y es cierto que $H^n(Y/G, A) = 0$ para $n>0$ . Pero eso no nos dice nada sobre $H^n(G, A)$ .