Bien, creo que he dado con un modelo de probabilidad útil que no es demasiado complicado.
Objetivo
Estimar la fracción de $S_1$ partículas que están en contacto con otras $S_1$ partículas. Suponiendo una mezcla de dos tipos de partículas $S_1,S_2$ .
Supuestos de modelización
- Los medios empaquetados son homogéneos y de extensión infinita. Requiere que el número de partículas que tocan el borde del cilindro sea mucho menor que el número que está en el interior del material empaquetado.
- Las partículas S1 y S2 son esferas con radios idénticos
- No hay atracciones entre las partículas
Formulación del modelo
Definiciones
- $V$ es un volumen arbitrario de medios empaquetados y $N_1,N_2$ sea el número de $S_1,S_2$ partículas en ese volumen, respectivamente. Sea $N=N_1+N_2$ y $f=\frac{N_1}{N}$ .
- $\tau_{N}$ es la fracción de $S_1$ partículas en $V$ que están tocando a otro $S_1$ partículas
- $P_N$ es el número de pares de partículas que se tocan en el medio empaquetado
- $X(\omega_i)$ es una variable aleatoria que indica el tipo de partícula para el $i^{th}$ de partículas ( $\omega_i$ ) en $V$ . Específicamente, $X(\omega_i)=1$ si $\omega_i=S_1$ y es cero en caso contrario. Utilizaré la notación abreviada $ X(\omega_i)\equiv X_i$
Derivaciones
La suposición de homogeneidad implica que el $X_i$ son independientes entre sí y $P(X_i=1)=f$ . Por lo tanto, $P(X_i=1 \cap X_j = 1)=f^2, \;\; \forall i\neq j$ . Sin embargo, no nos importa la probabilidad de que cualquier dos partículas serán $S_1$ queremos saber la probabilidad de que dos tocando las partículas son ambas $S_1$ suponiendo un empaquetamiento arbitrario de esferas de idéntico tamaño en 3 dimensiones.
Resulta que la situación anterior se ha estudiado con bastante detalle. En concreto, me basaré en la obra de Karoly Pares que se tocan Teorema 1(i) para determinar el número de pares de partículas que se tocan. Denotaré tal par utilizando conjuntos indexados $\phi_k=\{\omega_i,\omega_j\}$ ya que el orden de las partículas en el par es irrelevante y designa el mismo emparejamiento.
Utilizando nuestra notación, el teorema dice:
$$P_N<6N-0.926N^{2/3}$$
Por lo tanto, tenemos una colección de $P_N$ conjuntos de pares $\{\phi_k:k \in \{1...P_N\}\}$
La suposición de homogeneidad implica de nuevo que la composición de los pares es independiente de la de los demás. Sin embargo, corremos el riesgo de contar dos veces el número de partículas que participan en los pares, ya que algunos pares pueden compartir una partícula común.
Para ello, calcularé el número medio de coordinación ( $C_N$ ) y utilizarlo para calcular el número correcto de partículas únicas entre los parings.
$$C_N = 2\frac{P_N}{N}$$
Por ejemplo, si se tratara de un gas con interacciones débiles, entonces podríamos tener cada partícula sólo vinculada a otra partícula. En este caso, $P_N=\frac{1}{2}$ por lo que el número medio de coordinación es $1$ .
Por lo tanto, podemos pensar que cada partícula es el centro de un cúmulo con $C_N$ ramas (redondeo $C_N$ al número entero más cercano). El número de $(S_1,S_1)$ emparejamientos en el racimo con la partícula central siendo $\omega_i$ viene dada por $K_i$ .
El valor esperado se calcula de forma condicional:
Por lo tanto, $E[K_i]=P(\omega_i=S_1)E[K_i|\omega_i=S_1] = C_Nf^2$ y el número de $S_1$ partículas emparejadas con otras $S_1$ partículas se espera que sea $NC_Nf^2$ .
Ahora tenemos lo que necesitamos para obtener nuestra estimación de qué fracción del $S_1$ Las partículas se emparejan con otras $S_1$ partículas.
Principales resultados
$\tau_{N} < \frac{NC_Nf^2}{N_2} = \frac{f^22P_N}{N_2}=\frac{f^22P_N}{fN}=\frac{2fP_N}{N}=\frac{2f(6N-0.926N^{2/3})}{N}=2f\left(6-0.926N^{-1/3}\right)$
(Obsérvese que el número de coordinación de las esferas perfectamente empaquetadas es 12, por lo que se espera que los empaquetamientos arbitrarios de tamaño finito generen un número de emparejamientos inferior al óptimo)
Lo que queremos es $\tau_{\infty}$ :
$\tau_{\infty} = \lim\limits_{N\to \infty} \tau_N < 12f$
Debate
Esencialmente, un medio infinito y homogéneo de dos tipos de partículas esféricas sólo puede estar limitado por el número de emparejamientos para un medio perfectamente empaquetado.
La derivación para el límite de $\tau_{\infty}$ implica que, como máximo , $12f\times 100\%$ por ciento del $S_1$ las partículas están tocando otras partículas.
Lamentablemente, este límite es algo conservador, ya que implica que su mezcla no está lo suficientemente diluida como para garantizar algo menos del 100% de la $S_2$ las partículas están emparejadas (lo cual es obviamente falso... pero ¿hasta qué punto es falso?). Se necesitará mucha más dilución.Por lo tanto, si queremos obtener $\tau_{\infty} < D$ entonces necesitamos $f<\frac{D}{12}$ ¡!
En su caso, si queremos una probabilidad de emparejamiento muy baja (digamos $D<.01$ ), entonces $S_1$ sólo puede ser $0.08\%$ de la mezcla, ¡para una relación de dilución de 1.250:1! Su aparato puede resultar bastante grande (o, por el contrario, la eficacia se verá limitada) por un requisito de relación de dilución a granel tan grande.
