Dejemos que $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ sea una función continua sobre $[0,1]$ y diferenciable en $(0,1)$ . Supongamos que $f(0)=0$ y que $f'$ es estrictamente creciente. Demuestre que $f'(x)>\frac{f(x)}{x}$ . Me gustaría saber si mi prueba se mantiene, por favor, y tener una opinión.
En primer lugar, como $f$ es diferenciable en $(0,1)$ y $f'$ es estrictamente creciente, entonces es convexo en $(0,1)$ . Así, tenemos la siguiente desigualdad para $h<x<x+h$ ( $h>0$ y tal que $x+h<1$ ):
$\frac{f(x)-f(h)}{x-h}\le\frac{f(x+h)-f(h)}{x}\le \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
Aplicando el límite como $h\to 0$ obtenemos
$\frac{f(x)-f(0)}{x}=\frac{f(x)}{x}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x)-f(h)}{x-h}\le \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x)$ como se quería.
