Me interesa evaluar integrales de la forma $\displaystyle\int {g(x)}^{g'(x)}\,\mathrm dx$ . Tengo este sencillo ejemplo: $\displaystyle\int_{0}^{1} \left(\frac{1}{x}\right) ^{\log x}\,\mathrm dx$ . Wolfram Alpha da una bonita forma cerrada que se define como se muestra a continuación: $$\int_0^1\left(\dfrac1x\right)^{\log(x)}\,\mathrm dx = -\dfrac12\sqrt[4]{e}\sqrt\pi\left(\mathrm{erf}\left(\dfrac12\right) - 1\right) \approx 0.545641\tag{1}$$
Ahora mi pregunta es: ¿Existe alguna base matemática que nos dé regla(s) para evaluar integrales de la forma $\displaystyle\int {g(x)}^{g'(x)}\,\mathrm dx$ ? Y al mismo tiempo, ¿cómo podemos llegar a la solución en $(1)$ ?
