Inyección del conjunto de ordinales contables $\Omega$ en $\mathbb{R}$

Question

Estoy leyendo este y me gustaría definir una función inyectiva del conjunto de ordinales contables $\Omega$ en $\mathbb{R}$ utilizando la inducción transfinita (¿o quizás la recursión transfinita?).

Claramente, $\emptyset \in \Omega$ se definirá para asignar a cero: $f(\emptyset) := 0$ . A continuación, probablemente se distinga entre ordinales límite y ordinales sucesores.

Para los ordinales sucesores $\beta$ uno probablemente asumiría que si $f(\alpha)$ se define para todos los $\alpha < \beta$ y si $\beta = \alpha + 1$ entonces se puede definir $f(\beta) := f(\alpha) + 1$ .

No estoy seguro de que esto sea correcto, pero estoy aún menos seguro del caso de los ordinales de límite. Ahora dejemos que $\beta$ sea un ordinal límite y suponga $f(\alpha)$ se define para todos los $\alpha < \beta$ . Tenemos $\beta = \sup \{ \alpha \mid \alpha < \beta \}$ por la definición de ordinal límite y porque $\beta$ es contable podemos escribirlo como $\beta = \sup \{ \alpha_i \mid \alpha_i < \beta , i \in \mathbb{N} \}$ . Ahora estaba pensando que tal vez $f$ podría definirse como $ f(\beta) := \sum_{i=0}^\infty 10^{-i} f(\alpha_i)$ .

Para mostrar que esto es inyectivo, probablemente sea suficiente mostrar que diferentes ordinales límite mapean a diferentes reales.

¿Qué opinas de esto? ¿Estoy en el camino correcto? Gracias por su ayuda.

Answer 1

[ Editar: Entendí mal tu definición, y leí que describía una función inyectiva. La "solución" a continuación explica por qué esto no puede funcionar].

Lo que usted sugiere es interesante. La cuestión es si podemos asignar a cada ordinal límite una secuencia cofinal de tal manera que el $f$ que describes acaba siendo inyectiva. No sé a ciencia cierta si esto es posible, pero es un bonito problema (aún no está claro si $f$ está bien definida, es decir, si se puede arreglar para que todas las series relevantes converjan realmente). Perdón por la confusión original.

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El argumento que das no puede funcionar. Esto se debe a que en tu construcción no sólo estás tratando de definir una inyección, sino de hecho una función estrictamente creciente.

Pero si $f:\Omega\to{\mathbb R}$ es creciente, entonces para cada $\alpha$ habrá racional en el intervalo entre $f(\alpha)$ y $f(\alpha+1)$ y diferentes valores de $\alpha$ corresponderán a diferentes racionales. Por supuesto, esto es imposible ya que $\Omega$ es incontable pero ${\mathbb Q}$ es contable.

De hecho, no podrá definir una inyección $f$ por ningún procedimiento explícito. Esto se debe a que es consistente con los axiomas de la teoría de conjuntos sin elección que no existan tales inyecciones, y es consistente con la teoría de conjuntos más elección que ninguna inyección sea definible.

Una forma de demostrar que existen tales inyecciones es utilizar el lema de Zorn sobre la colección de inyecciones $f$ cuyo dominio es un ordinal. Se trata de un orden parcial: $f\le g$ si $g$ extiende $f$ como una función, es decir, si $g$ tiene un dominio mayor que $f$ y la restricción de $g$ al dominio de $f$ es sólo $f$ . Es evidente que un elemento maximal en este poset debe tener un dominio incontable, ya que los reales son incontables.

Answer 2

En primer lugar, nótese que sin el axioma de elección es perfectamente posible que no exista ninguna inyección como ésta. Esto es un fuerte indicio de que una definición bastante explícita es imposible.

Asumiendo el axioma de elección mostrar que tal inyección existe es inmediato ya que $2^{\aleph_0}\ge\aleph_1$ . Sin embargo, si queremos ser un poco más explícitos, podemos hacer lo siguiente:

Dejemos que $Q:\mathbb Q\to\omega$ sea una enumeración de los racionales. Para cada $\beta<\omega_1$ dejar $f_\beta:\beta\to\mathbb Q$ sea una incrustación de orden que existe ya que incluso sin el axioma de elección $\mathbb Q$ engloba todo orden lineal contable.

Ahora dejemos que $F:\omega_1\to 2^\omega$ definirse como $F(\beta)=Rng(Q\circ f_\beta)$ que es un subconjunto de $\omega$ que tiene el tipo de orden $\beta$ en la enumeración $Q$ .

Utilizamos el axioma de elección para elegir $f_\beta$ para los ordinales siguientes $\omega_1$ . Si, por ejemplo, los números reales son uniones contables de conjuntos contables, entonces no existe tal secuencia de biyecciones.

Para ver una incrustación un poco más explícita de cada ordinal en $\mathbb Q$ se puede considerar un Árbol de Aronszajn y elija su incrustación de las ramas pertinentes, usando esto puede utilizar el mismo truco para generar un subconjunto de $\omega$ como antes.