Problema del eigespacio

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente problema:

Dejemos que $(\lambda,v)$ sea un eigenpar de $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ tal que la multiplicidad algebraica de $\lambda$ es $2$ pero con multiplicidad geométrica igual a $1$ . Demostrar que $v \in$ Soy $(A-\lambda I) $ donde Im $(A-\lambda I)$ denota el espacio imagen de la matriz $A-\lambda I$ .

Mi estrategia era suponer que $v \notin$ Soy $(A - \lambda I)$ De esta manera concluyo utilizando el Teorema de la Imagen del Núcleo que $\mathbb{R}^{n}$ puede hacerse como la suma directa de Kernel $(A-\lambda I)$ e Im $(A-\lambda I)$ . Pensé que de esta manera podría obtener alguna contradicción, pero si es el caso no me di cuenta de cómo.

Answer 1

Supongamos que $v\notin \text{Im}(A-\lambda I)$ . Como ha notado, tenemos $\mathbb{R}^n=\ker (A-\lambda I)\oplus\text{Im}(A-\lambda I)=K\oplus J.$ Ahora, observa que $A$ es invariable bajo $K$ y bajo $J$ . Así que las restricciones $A|_K:K\rightarrow K$ , $A|_J:J\rightarrow J$ son mapas lineales bien definidos.

Ahora elige una base $\{v_1,\dots,v_{n-1}\}$ de $J$ y que $[A]_B$ sea la matriz de $A$ con respecto a la base $B=\{v,v_1,\dots,v_{n-1}\}$ . Entonces $[A]_B$ tiene la forma

$$ [A]_B = \left( \begin{matrix} \lambda & * & \dots & *\\ 0 & a_{11} & \dots & a_{1(n-1)}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & a_{(n-1)1} & \dots & a_{(n-1)(n-1)}\end{matrix} \right). $$

Dejemos que $p$ sea el polinomio característico de $A$ . Podemos ver por expansión cofactorial del determinante que $$ p(t)=det(A-t I)=det([A-t I]_B)=det(A|_K-tI|_K)det(A|_J-tI|_J)=p_K(t)p_J(t), $$ donde $p_L$ es el polinomio característico de la restricción $A|_L$ , para $L=K,J$ .

Tenga en cuenta que $p_J(\lambda)\neq 0$ . Si no, entonces existe $0\neq x\in \text{Im}(A-\lambda I)$ tal que $Ax=\lambda x$ lo que contradice el hecho de que $\ker(A-\lambda I)=\langle v\rangle$ . Además, como $K$ es un espacio vectorial unidimensional, tenemos $A|_K=(\lambda)$ Así que $p_K(t)=\lambda-t$ y así $$p(t)=(\lambda-t)p_J(t),\quad p_J(\lambda)\neq 0$$ y esto contradice el hecho de que $\lambda$ tiene multiplicidad 2 como raíz de $p$ .