Desigualdad de tipo Cauchy-Schwarz

Question

Dejemos que $f\in C^1[0,\infty)$ tal que $f(x)\to 0$ como $x\to\infty$ . Demostrar que $$\int_0^\infty f(x)^2\, dx\le \Biggl(\int_0^\infty x^2f(x)^2\, dx\Biggr)^{1/2}\Biggl(\int_0^\infty f'(x)^2\, dx\Biggr)^{1/2}\,.$$ Sugerencia: escriba $f(x)^2=-\int_x^\infty \Bigl(f(t)^2\Bigr)'\, dt$ .

Así que intenté hacer esto sin la pista, de la siguiente manera:

Para facilitar las cosas, todas las integrales se han tomado de $0$ a $\infty$ . Considere $xf(x)f'(x)$ e integrar por partes con $u=xf(x)$ y $dv=f'(x)dx$ . Esto da $$\int xf(x)f'(x)=\underbrace{xf(x)^2\Bigr|_0^\infty}_A-\int f(x)^2-\int xf(x)f'(x)\,.$$ Pero el término $A$ no va necesariamente a cero, lo que es un completo aguafiestas.

He jugado un poco con la pista, pero ha sido infructuoso. Se agradece cualquier ayuda, gracias

Answer 1

Cauchy-Schwarz nos dice que el lado derecho de la desigualdad es mayor que

$$\int_0^\infty xf(x)f'(x)\ dx.$$

Utilizando la pista, anota

$$\int_0^\infty f(x)^2 \ dx= \int_0^\infty -\int_x^\infty \left(f(t)^2\right)'\, dt\ dx= \int_0^\infty \int_x^\infty -2f(t)f'(t)\, dt\ dx. $$

Podemos utilizar el teorema de Fubini para intercambiar el orden de integración. Es útil dibujar la región de integración en un papel cuando se hace esto. Se obtiene el sector delimitado por la recta $x=t$ y el $t$ eje.

$$\int_0^\infty \int_x^\infty -2f(t)f'(t)\, dt\ dx = -\int_0^\infty \int_0^t 2f(t)f'(t)\ dx \ dt= -2\int tf(t)f'(t) \ dt.$$

En este punto estamos fuera por un signo y una constante, pero espero que la sugerencia de cambiar las integrales haya sido útil. Voy a editar esto si encuentro mi error.

Answer 2

Por lo general, es una buena idea seguir las pistas que te dan. Deje que $$ \eqalign{J &= \int_0^\infty f(x)^2\ dx = - \int_0^\infty \int_x^\infty (f(t)^2)'\ dt\ dx \cr &= 2 \int_0^\infty \int_x^\infty (t^{1/2} f(t)) (-t^{-1/2} f'(t)) \ dt \ dx\cr}$$ Ahora usa Cauchy-Schwarz: $$ J \le 2 \left( \int_0^\infty \int_x^\infty t f(t)^2\ dt \ dx\right)^{1/2} \left( \int_0^\infty \int_x^\infty t^{-1} f'(t)^2\ dt\ dx \right)^{1/2} $$ Intercambiar el orden de integración $$\int_0^\infty \int_x^\infty t f(t)^2\ dt \ dx = \int_0^\infty \int_0^t \ dx\ t f(t)^2 \ dt = \int_0^\infty t^2 f(t)^2\ dt $$ $$ \int_0^\infty \int_x^\infty t^{-1} f'(t)^2\ dt\ dx = \int_0^\infty \int_0^t \ dx\ t^{-1} f'(t)^2 \ dt = \int_0^\infty f'(t)^2\ dt$$ Sólo estamos fuera por ese molesto factor de $2$ . Pero en realidad Cauchy-Schwarz es una igualdad cuando los dos factores son iguales. Si $t ^{1/2} f(t) = - t^{-1/2} f'(t)$ es decir $f'(t) = - t f(t)$ entonces $f(t) = c e^{-t^2/2}$ . En ese caso $J = \int_0^\infty c^2 e^{-t^2}\ dt = c^2 \sqrt{\pi}/2$ mientras que $\int_0^\infty t^2 f(t)^2\ dt = c^2 \sqrt{\pi}/4$ y efectivamente la desigualdad (con el factor de $2$ ) es una igualdad. Concluimos que la desigualdad correcta debería ser

$$ \int_0^\infty f(x)^2\ dx \le 2 \left(\int_0^\infty t^2 f(t)^2\ dt\right)^{1/2} \left( \int_0^\infty f'(t)^2\ dt \right)^{1/2} $$