Dejemos que $A$ sea un álgebra C* unital conmutativa, y sea $\tau$ sea un estado en $A$ por lo que es una función lineal sobre $A$ con norma 1 tal que lleva elementos positivos a elementos positivos. Sea $a \in A$ sea un elemento positivo. Sea $f \in C(\sigma(a))$ . ¿Cuándo se puede decir que $\tau(f(a))=f(\tau(a))$ ¿en general, si es que lo es? Si ayuda, tome $\tau$ para ser aún más puro.
Respuesta
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Si pide un fijo $\tau$ y para todos $f$ entonces la respuesta es "precisamente cuando $\tau$ es multiplicativo en $C^*(a)$ ".
Si pide un $f$ La pregunta no está muy bien formulada:
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para $f(t)=t$ la respuesta es "siempre"
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para $f(t)=t^2$ la respuesta es "cuando $\tau$ es multiplicativo en $C^*(a)$ ", por lo que la igualdad se mantendrá para todos $f$
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por otro $f$ quién sabe. Dependerá en gran medida de las propiedades específicas de $a$ y $f$ . Por ejemplo, si $\tau$ , visto en $C(\sigma(a))$ es una evaluación puntual, entonces $\tau(f(a))=f(\tau(a))$
