Sea $A$ una $\text{C}^*$-álgebra unital conmutativa, y sea $\tau$ un estado en $A$, es decir, un funcional lineal en $A$ con norma 1 tal que lleva elementos positivos a elementos positivos. Sea $a \in A$ un elemento positivo. Sea $f \in C(\sigma(a))$. ¿Cuándo se puede decir que $\tau(f(a))=f(\tau(a))$, si es que se puede decir en general? Si ayuda, considera que $\tau$ es además puro.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Si estás preguntando por un $\tau$ fijo y para todo $f$, entonces la respuesta es "precisamente cuando $\tau$ es multiplicativo en $C^*(a)$".
Si estás preguntando por un $f$ en particular, la pregunta no está muy bien formulada:
-
para $f(t)=t$, la respuesta es "siempre"
-
para $f(t)=t^2$, la respuesta es "cuando $\tau$ es multiplicativo en $C^*(a)", por lo que la igualdad se mantendrá para todos los $f$
-
para otro $f$, quién sabe. Dependerá en gran medida de las propiedades específicas de $a$ y $f$. Por ejemplo, si $\tau$, visto en $C(\sigma(a))$, es una evaluación puntual, entonces $\tau(f(a))=f(\tau(a))
