¿Cómo puedo evaluar $\sum\limits_{k=1}^n\,k\, 2^k$ ?

Question

¿Cómo puedo evaluar la suma $$\displaystyle\sum_{k=1}^n\,k\, 2^k$$ ? Probablemente debería utilizar coeficientes binomiales, pero ¿cómo?

Answer 1

$$\sum_{k=1}^{n}k2^k= 2\sum_{k=1}^{n}k2^{k-1}= 2\left(\sum_{k=1}^{n}x^{k}\right)'\bigg|_{x=2}= 2\left(x\frac{x^{n}-1}{x-1}\right)'\bigg|_{x=2}\\= 2\left(\frac{((n+1)x^{n}-1)(x-1)-x^{n+1}+x}{(x-1)^2}\right)\bigg|_{x=2} =((n-1)2^{n+1}+2) $$