Consideremos un espacio de Hilbert $H$ y el conjunto de operadores acotados $B(H)$ . Estoy interesado en integrar funciones de la forma $f:X \to H$ y $A: X \to B(H)$ donde $X$ es generalmente un espacio de medidas, pero para simplificar consideremos $X= \mathbb{R}$ (y supongo que éstas tendrán que ser continuas, o tener como mucho discontinuidades de medida 0). ¿Puede/cómo se define tal integral de forma general y bajo qué supuestos sobre $X$ , $f$ , $A$ ? Si se puede definir, ¿son las integrales de $f(x)$ y de $A(x)$ "compatible", en el sentido de que la integral de los operadores $A(x)$ actuando sobre cualquier $\in H$ es igual a la integral de $A(x)$ : $$\int_0^T A(x) \,dx \, = \int_0^T A(x) \, dx$$ ¿Se satisfacen las propiedades "previstas", como $$|| \int_0^T A(x) \,dx|| \leq \int_0^T ||A(x)|| \, dx $$ o $$ \langle , \int_0^T f(x) \,dx \rangle = \int_0^T \langle , f(x)\rangle \,dx \ \forall \in H $$ ¿Está dicha integral definida de forma única?
Agradecería mucho las refencias sobre este tema.
