Más la construcción de la sheafificación como colímite de los presheaves.

Question

En Haces en Geometría y Lógica Moerdijk y Mac Lane construyen la gavilla asociada en un sitio $(\mathcal C, J)$ de un presheaf $P$ como $$ a(P) = (P^+)^+ ,$$ donde $P^+$ se define puntualmente como $P^+(U) = \underrightarrow{\mathrm{lim}}_{R \in J(U)} \mathrm{Hom}_{\mathrm{Psh}(\mathcal C)}(R, P)$ . Entonces demuestran que $P^+$ es un presheaf (que satisface algunas propiedades).

Me pregunto si se puede omitir la última parte (demostrar que $P^+$ es un presheaf) definiendo $P^+$ directamente como colimador en la categoría $\mathrm{Psh}(\mathcal C)$ en lugar de en forma de punto. He intentado averiguar ese colimite sin éxito, principalmente porque la computación puntual hace que la familia de indexación dependa del punto. Entonces, ¿es posible? Si es así, ¿alguien podría darme una pista? Si no, ¿cuál es la razón?

Answer 1

Hay un acceso directo a través de las extensiones de Kan. Lo aprendí de la sección 6.2.2 de Teoría del Topo Superior que trata el caso de gavillas de conjuntos simpliciales en un sitio general. Esto es lo que parece para gavillas de conjuntos en un espacio topológico.

Dejemos que $\mathcal{C}$ sea el marco de subconjuntos abiertos de algún espacio topológico $X$ . Dejemos que $\text{Cov}(\mathcal{C})$ sea el poset en el que un objeto es un par $(U, \mathfrak{U})$ de un objeto $U$ de $\mathcal{C}$ y una tapa abierta $\mathfrak{U}$ de $U$ y $(U, \mathfrak{U}) \leq (V, \mathfrak{V})$ si $U \subseteq V$ y $\mathfrak{U}$ es un refinamiento de $\mathfrak{V}$ . Dejemos que $\mathcal{C}^{+}$ sea el conjunto de triples $(U, \mathfrak{U}, U')$ tal que $(U, \mathfrak{U})$ es un objeto de $\text{Cov}(\mathcal{C})$ y $U'$ es un subconjunto de algún elemento de $\mathfrak{U}$ y $(U, \mathfrak{U}, U') \leq (V, \mathfrak{V}, V')$ por si acaso $(U, \mathfrak{U}) \leq (V, \mathfrak{V})$ en $\text{Cov}(\mathcal{C})$ y $U' \subseteq V'$ .

Hay tres funtores de proyección $$ e : \mathcal{C}^{+} \to \mathcal{C} \qquad \pi : \mathcal{C}^{+} \to \text{Cov}(\mathcal{C}) \qquad \rho : \text{Cov}(\mathcal{C}) \to \mathcal{C} $$ y la construcción del plus es el compuesto $$ [\mathcal{C}^{\text{op}}, \mathsf{Set}] \xrightarrow{e^{*}} [(\mathcal{C}^{+})^{\text{op}}, \mathsf{Set}] \xrightarrow{\pi_{*}} [\text{Cov}(\mathcal{C})^{\text{op}}, \mathsf{Set}] \xrightarrow{\rho_{!}} [\mathcal{C}^{\text{op}}, \mathsf{Set}] $$ donde el functor $e^{*}$ es el retroceso a lo largo de $e$ el functor $\pi_{*}$ es el adjunto derecho del pullback $\pi^{*}$ y el functor $\rho_{!}$ es el adjunto izquierdo del pullback $\rho^{*}$ . Así que $P^{+}$ es un presheaf porque la construcción del plus es un functor, dando el atajo que quieres.

Estas uniones están dadas por extensiones de Kan puntuales, por lo que para cualquier $U$ podemos calcular $P^{+}(U)$ utilizando (co)límites. Algunos argumentos de finalidad muestran que recuperamos la definición que da de $P^{+}(U)$ .