Dejemos que $A$ ser un $n\times n$ matrices sobre $\mathbb{C}$ ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

Question

Dejemos que $A$ ser un $n\times n$ matriz sobre $\mathbb{C}$ tal que todo vector no nulo de $\mathbb{C^n}$ es un vector propio de $A$ . Entonces,

1. Todos los valores propios de $A$ son iguales.
2. Todos los valores propios de $A$ son distintos.
3. $A=\lambda I$ para $\lambda \in \mathbb{C}$ donde $I$ es un $n\times n$ matriz de identidad.
4. Si $\chi_A$ y $m_A$ denotan el polinomio característico y el polinomio mínimo respectivamente, entonces $\chi_A=m_A$ .

Ahora para $4$ Sé que $\chi_A=m_A$ implica que el espacio propio tiene dimensión $1$ es decir, todos los valores propios son diferentes. Pero cómo puedo concluir si todos los vectores distintos de cero son vectores propios o no si esto sucede.

De nuevo si $A=\lambda I$ entonces todos los valores propios son iguales y cada vector distinto de cero es un vector propio. Pero estoy confundido para analizarlo correctamente. Cualquier ayuda por favor.

Answer 1

PISTA: Es fácil ver que si $A=\lambda I$ entonces todo vector no nulo en $\Bbb C^n$ es un vector propio de $A$ para el valor propio $\lambda$ por lo que es posible que todos los valores propios de $A$ para que sean iguales; esto te muestra que (2) y (4) no son necesariamente ciertas, mientras que (1) y (3) pueden serlo. Sólo queda decidir si (3) debe sea verdadera (en cuyo caso (1) también será verdadera).

Supongamos que $x,y\in\Bbb C^n$ , $Ax=\lambda_1x$ y $Ay=\lambda_2y$ , donde $\lambda_1\ne\lambda_2$ . Entonces

$$A(x+y)=Ax+Ay=\lambda_1x+\lambda_2y\;,$$

y $A(x+y)=\lambda(x+y)$ para algunos $\lambda\in\Bbb C$ Así que $\lambda x+\lambda y=\lambda_1x+\lambda_2y$ y por lo tanto

$$(\lambda-\lambda_1)x=(\lambda_2-\lambda)y\;.$$

Obsérvese que al menos uno de $\lambda-\lambda_1$ y $\lambda_2-\lambda$ es distinto de cero y derivar una contradicción, demostrando así que todos los valores propios de $A$ deben ser iguales y, por tanto, que (1) debe ser cierto.

Ahora bien, si todos los valores propios son iguales a $\lambda$ , digamos, para que $Ax=\lambda x$ para cada $x\in\Bbb C^n$ entonces $A-\lambda I=0$ para todos $x\in\Bbb C^n$ Así que lo que debe $A$ ¿ser?

Answer 2

Sugerencia Supongamos que todo vector no nulo es un vector propio de $A$ . Podemos recuperar algebraicamente el valor propio $\lambda$ de un vector propio $\bf x$ utilizando el hecho de que $$\frac{\bar{\bf x}^T A {\bf x}}{\bar{\bf x}^T {\bf x}} = \frac{\bar{\bf x}^T \lambda {\bf x}}{\bar{\bf x}^T {\bf x}} = \lambda .$$ Esto sugiere considerar la función (continua) $${\bf y} \mapsto \frac{\bar{\bf y}^T A {\bf y}}{\bar{\bf y}^T {\bf y}} ,$$ que, como todo vector distinto de cero es un vector propio, devuelve el valor propio de $\bf y$ . ¿Qué implica la continuidad de esta función si $A$ tiene dos valores propios diferentes?

Answer 3

Supongamos, por ejemplo, que $n = 3$ .

Dejemos que $e_1, e_2, e_3$ sea la base estándar, de modo que $e_1 = (1, 0, 0)$ etc.

Recuerde (o calcule) que las columnas de $A$ son precisamente su acción sobre los vectores base. Pero los vectores base son también vectores propios de $A$ ¡! Así que (por ejemplo) $Ae_1 = (\lambda_1, 0, 0)$ para algunos $\lambda_1$ . Deducir que todas las entradas no diagonales de $A$ son cero.

Ahora considere $A$ aplicada al vector $e_1 + e_2 = (1, 1, 0)$ . Obtendrá $(\lambda_1, \lambda_2, 0)$ . Pero esto es también un vector propio de $A$ por lo que es un múltiplo de $(1, 1, 0)$ . ¿Qué le dice eso sobre $\lambda_1$ y $\lambda_2$ ?