un proceso puntual se caracteriza por sus probabilidades de vacío

Question

Consideremos un proceso puntual planar $X$ y llamar a $N_A = \text{Card}\big( X \cap A\big)$ el número de puntos dentro del subconjunto $A \subset \mathbb{R}^2$ . Si uno conoce la ley de $(N_{A_1}, \ldots, N_{A_r})$ para cualquier conjunto $A_1, \ldots, A_r$ , entonces el proceso está completamente caracterizado. Recientemente he aprendido que, de hecho, basta con saber $f(A)=P(N_A=0)$ (llamada función de probabilidad de vacío) para cualquier conjunto $A$ para caracterizar completamente la ley de $X$ .

Intuitivamente, no entiendo por qué ese resultado es cierto. En efecto, el conocimiento de la función $f$ aporta cierta información en la estructura de correlación del proceso $X$ Sin embargo, sigo sin entender cómo la función $f$ puede codificar toda la estructura de correlación del proceso. ¿Alguna idea al respecto?

Answer 1

Esto sólo es cierto para simple procesos de puntos (no hay puntos duplicados).

Por el principio de inclusión-exclusión, $f$ determina la distribución conjunta de varios conjuntos (disjuntos) vacíos u ocupados. Si el proceso es sencillo, esto permite recuperar la ley de $(N_{A_1},\dots,N_{A_r})$ como límite sobre particiones más finas.

Answer 2

Para completar la concisa explicación de Omer, el resultado general se conoce como teorema de la capacidad de Choquet. Dice que las probabilidades de vacío caracterizan a cualquier conjunto cerrado aleatorio. Los procesos puntuales simples son un ejemplo de conjuntos cerrados aleatorios.