Dejemos que $X$ sea un espacio de Banach. Mi pregunta es: $X$ no contiene ninguna copia de $l_{1}$ si y sólo si cualquier operador de $X$ a $l_{1}$ ¿es compacto? Supongo que la parte necesaria puede ser cierta. Pero, ¿es cierta la parte suficiente? Al menos, la parte suficiente es cierta para $X=c_{0},l_{p}(1<p<\infty)$ .
Respuesta
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Dado que los operadores débilmente compactos en $\ell_1$ son compactos, y como por un resultado de Kadec y Pelczynski todo operador no débilmente compacto en $\ell_1$ fija una copia de $\ell_1$ tenemos que si $X$ no contiene ninguna copia de $\ell_1$ entonces cada operador de $X$ a $\ell_1$ es compacto.
Sin embargo, lo contrario no es cierto en general. Dado que $ C [0,1] $ es universal para los espacios de Banach separables, contiene una copia de $\ell_1$ pero todos los operadores de $ C [0,1] $ es compacto; de hecho, Pelczynski demostró que los operadores no débilmente compactos de un $ C (K) $ espacio fijar una copia de $ c_0$ pero no hay ninguna copia de $ c_0$ en $\ell_1$ .
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