Pregunta sobre $L^1$ convergencia para variables aleatorias

Question

Para una variable aleatoria $X \colon \Omega \to \mathbb{R}$ y una secuencia de variables aleatorias $X_n$ con

$$ \lim_{n \to \infty} \mathbb{E} [|X_n -X|] = 0,$$

He descubierto que

$$ \lim_{n\to \infty} \mathbb{E} [f \circ X_n] = \mathbb{E}[f \circ X] \quad (1)$$

es válida para cualquier $f \in C_b(\mathbb{R})$ .

Primera pregunta: Me gustaría utilizar $(1)$ con $f(x)=e^x \notin C_b(\mathbb{R})$ y sé que $\mathbb{E}[e^X]$ existe. ¿Implica esto ya $(1)$ ? $X$ tiene valores negativos y positivos.

Segunda pregunta: ¿ $$\mathbb{E} [|X_n -X|] \in O\left(\sqrt {\frac{1}{n}}\right)$$ implica $$ \mathbb{E}[f \circ X_n] - \mathbb{E}[f \circ X] \in O\left(\sqrt {\frac{1}{n}}\right) \quad ?$$ Si es así, ¿es esto también cierto para $f(x)=e^x$ ?

Answer 1

Para responder a ambas preguntas (negativamente), considere $X_n$ con la distribución $x_n\delta_n+(1-x_n)\delta_0$ con $x_n\to0$ . Entonces (1) se mantiene (con $X=0$ casi seguro) tan pronto como $x_n\ll1/n$ pero la convergencia para $f:x\mapsto\mathrm e^x$ requiere que $x_n\ll1/\mathrm e^n$ .