Es allí conoce a un campo de número de $K$ y una curva de $F(x, y) \in K(t)[x, y]$ tal que $F(x, y)$ no tiene puntos en el campo de funciones racionales $K(t)$, pero para todos, pero un número finito de enteros positivos valores de $t$ la respectiva especialización tiene un punto más de $K$?
(Espero que la respuesta sea "$K$ no se sabe" y el problema de la dificultad similar que el de $K = \mathbb{Q}$ pero no he visto un experto comentar hasta ahora.)
Gracias.
Suponiendo que la paridad de la conjetura (conocido por ser una consecuencia de la BSD conjetura) para "congruentes número de curvas" $E_d: d \cdot Y^2 = X^3 - X$, usted puede incluso llevar a $K = {\bf Q}$ y $$ F(x,y) = 4x^2 + 1 + (8t-1) x y^2. $$
La curva de $F(x,y) = 0$ es birational con la curva elíptica $(8t-1) Y^2 = X^3 + 4X$ (deje $x=1/X$$y=Y/X$), que a su vez es de 2 isogenous con $E_{8t-1}: (8t-1) Y^2 = X^3 - X$. La única ${\bf Q}(t)$-puntos racionales de la curva de $(8t-1) Y^2 = X^3 + 4X$ son los puntos de torsión en $(0,0)$ y el infinito, y elegí coordenadas $X,Y$ que puso a los dos de estos puntos en la línea en el infinito, por lo que hay no finito de soluciones de $F(x,y) = 0$. Por otro lado, si $t$ es un entero positivo, a continuación,$|8t-1| \equiv 7 \bmod 8$, lo $E_{8t-1}$ ha signo $-1$, de donde bajo BSD tiene un número impar (y por lo tanto positivos) clasificación más de $\bf Q$, por lo que una infinidad de puntos racionales.
[Este ejemplo no tiene ningún excepcional $t$, pero no está claro a priori que si hay un ejemplo con sólo un número finito de excepcional $t$ entonces uno puede traducir $t$ para obtener una "nueva" $F$ que no tiene ninguno.]
La complejidad surge porque no resolver este tipo de ecuaciones. Generalmente el uso de la aritmética modular. Aunque muy a menudo no es capaz de dar la fórmula de la solución.
Damos algunos ejemplos.
Entero único de solución de un no-lineal de la ecuación - a veces, es posible escribir una fórmula simple.
Cómo encontrar a $a,b\in\mathbb{N}$ tal que $c = \frac{(a+b)(a+b+1)}{2} + b$ para un determinado $c\in\mathbb{N}$ - o, como este.
Diophantine ecuación: $(x-y)^2=x+y$ - o, como este.
Cuadrado perfecto relación con ninguna de las soluciones para algunos casos especiales se puede obtener la fórmula.
Cómo resolver una ecuación de la forma $ax^2 - by^2 + cx - dy + e =0$? - para algunos casos especiales se puede obtener la fórmula.
¿Cómo puedo resolver la ecuación $x^2 - y^2 -2xy - x + y = 0$? - se puede considerar este sencillo.
Demostrando una Pellian de conexión en la condición de divisibilidad $(a^2+b^2+1) \mid 2(2ab+1)$ - se puede considerar este sencillo.
La existencia de $x,y$ Satisfacer la Ecuación de Diophantine - se puede considerar este sencillo.
El sistema de género caracteres determinados por un binario forma cuadrática - hay escrito de la misma fórmula.
Yo creo que lo suficiente. No hay fórmula para el binario de la formas cuadráticas. Generalmente sólo de esta forma puede escribir las fórmulas de las soluciones.
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