Encuentra la expectativa, $\mathbb{E}[(X_1Y+X_2)^2|X_1,X_2]$

Question

Variables aleatorias dadas $X_1, X_2, Y$ con $\mathbb{E}[Y|X_1,X_2] = 5X_1+X_1X_2$ y $\mathbb{E}[Y^2|X_1X_2] = 25X_1^2 X_2^2 + 15$ . Encuentre $$\mathbb{E}[(X_1Y+X_2)^2|X_1,X_2].$$

Lo que hice fue ampliar $(X_1Y+X_2)^2$ . Sin saber $X_1, X_2, Y$ son independientes, ¿cuál es el siguiente paso?

Answer 1

Una pista:

Por lo tanto, si ampliamos $(X_1Y+X_2)^2$ nos encontramos con que:

$$ X_1^2Y^2+2X_1X_2Y + X_2^2$$

Ahora, podemos tratar $X_1,X_2$ como fijo porque se dan en el condicional. Por lo tanto, cuando tomamos las expectativas obtenemos:

$$E[X_1^2Y^2+2X_1X_2Y + X_2^2]=X_1^2E[Y^2] + 2X_1X_2E[Y] + X_2^2$$

¿Puedes llevarlo desde aquí? La clave fue darse cuenta de que eres dado los valores de $X_1,X_2$ ya no son aleatorios.