Si $S(t)$ es un $C_0$ -semigrupo, es $S(t-s)f(s)$ ¿Bochner integrable?

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio de Banach y sea $S(t)$ , $t \geq 0$ sea un $C_0$ -semigrupo en $X$ .

Supongamos que $f : [0,+\infty) \rightarrow X$ es integrable por Bochner.

Es $S(t-s)f(s)$ Bochner integrable en $[0,t]$ y hace $t \mapsto \int_0^t S(t-s)f(s)ds \in C^0([0,+\infty),X)$ ?

La función $t \mapsto \int_0^t S(t-s)f(s)ds$ surge cuando definimos la noción de solución débil de una EDP de evolución no homogénea $$\partial_t u(t) = Au(t) + f(t), \quad u(0) = u_0$$

donde $A$ es el generador infinitesimal de $S(t)$ .

Si $f$ es continua, sé que el resultado es verdadero, pero me interesa el caso no continuo. Yo esperaría que esto también fuera cierto.

Si es necesario, se puede suponer que el semigrupo está uniformemente acotado.

La parte complicada es, creo, demostrar que $S(t-s)f(s)$ es medible por Bochner.

Cualquier prueba o referencia es bienvenida.

Answer 1

A raíz de un comentario, creo que he dado con un esbozo de prueba.

En primer lugar, aquí hay algunas propiedades sobre la integración de Bochner. Sea $\Omega \subset \mathbb R^n$ estar abierto.

1. La convergencia dominada y Fubini-Tonelli se mantienen para la integración de Bochner.
2. La fórmula de cambio de variables es válida para las transformaciones $t = as + b$ con $a, b \in \mathbb R$ . Demuéstralo primero para funciones simples y luego aproxima.
3. $C_c(\Omega,X)$ es denso en $L^1(\Omega,X)$ . Aproximadamente $f \in L^1(\Omega,X)$ mediante una simple función $g = \sum_{k=0}^n x_i \chi_{A_i}$ y aproximar cada $\chi_{A_i}$ , donde $A_i$ es un conjunto medible de Lebesgue de medida finita, con un $C_c(\Omega,\mathbb R)$ función. Por ejemplo, véase https://planetmath.org/compactlysupportedcontinuousfunctionsaredenseinlp
4. El operador de traslación es fuertemente continuo en $L^1(\Omega,X)$ . La demostración es la misma que en el caso de Lebesgue. Por ejemplo, véase https://math.stackexchange.com/a/458234/272494
5. $C^{\infty}_c(\Omega,X)$ es denso en $L^1(\Omega,X)$ . Esto se hace por convolución con un molificador de valor real. La suavidad se deduce del teorema de convergencia dominada. El resto de la demostración es similar al caso de Lebesgue. Por ejemplo, véase https://people.math.gatech.edu/~heil/7338/fall09/approxid.pdf p.41 y https://math.stackexchange.com/a/597465/272494

Ahora bien, la aproximación $f \in L^1([0,+\infty),X)$ por una secuencia $(f_n) \subset C^{\infty}_c((0,+\infty),X)$ de funciones suaves y con soporte compacto. Pasando a una subsecuencia, podemos suponer que $||f_n(s) - f(s)||_X$ que converge a cero en $L^1([0,+\infty),\mathbb R)$ también converge a cero puntualmente para casi todo $s \geq 0$ .

Fijar $t \geq 0$ y que $s \in [0,t]$ . Desde $S(t-s)$ es un operador continuo, $S(t-s)f(s)$ es el límite puntual en casi todas partes de $S(t-s)f_n(s)$ una secuencia de funciones continuas. Por lo tanto, $S(t-s)f(s)$ es medible por Bochner.

La estimación de crecimiento $||S(t-s)|| \leq M e^{b(t-s)}$ nos permite concluir que $S(t-s)f(s)$ es integrable por Bochner en $[0,t]$ .

La prueba de continuidad también es estándar.

Nota :

No he encontrado ningún libro bueno donde se traten todas esas propiedades de la integral de Bochner. Sin embargo, he encontrado en la web dos tesis magistrales ("The Bochner integral and an application to singular integrals" de Harry Thompson Potter y "Sobolev Spaces of Vector-Valued Functions" de Marcel Kreuter) donde se demuestran dichas propiedades.