Si $A ∈ M_n$ sea positiva definida entonces $(x^∗ Ax)(y^∗A^{−1} y) ≥ |x^∗ y|^2$

Question

Dejemos que $A M_n$ sea positiva definida, y que $x, y \mathbb{C}^n$ .

¿Por qué $(x^ Ax)(y^A^{1} y) |x^ y|^2$ ?

Answer 1

Sólo hay que rellenar el "uno" correcto y utilizar Cauchy-Schwarz, tenemos $$\begin{align*} \def\abs#1{\left|#1\right|} \abs{x^*y}^2 &= \abs{x^*A^{1/2}A^{-1/2}y}^2\\ &= \abs{(A^{1/2}x)^*A^{-1/2}y}^2\\ &\le (A^{1/2}x)^*(A^{1/2}x) \cdot (A^{-1/2}y)^*A^{-1/2}y\\ &= (x^*Ax)(y^*A^{-1}y) \end{align*}$$