Resolver una ecuación diferencial, homogénea

Question

Resuelve esta Ecuación Diferencial. No estoy seguro de la forma, cuando intenté resolverla traté de resolverla como Homogénea. Pero no pude darle una buena forma. Este es un problema de un examen pasado, no una tarea. Si alguien pudiera decirme cómo hacerlo sería genial.

Answer 1

$$\frac{y}{x}\ln\frac{x}{y}dx=(\ln \frac{x}{y}-5\frac{y}{x})dy$$ sabemos que $\ln\frac{a}{b}=-\ln\frac{b}{a}$ , por lo que la D.E. será $$-\frac{y}{x}\ln\frac{y}{x}dx=(-\ln \frac{y}{x}-5\frac{y}{x})dy$$

entonces deja que $$u=\frac{y}{x}$$

Answer 2

Un enfoque un tanto diferente, estar atento a los patrones útiles.

Nota $y(ln(x/y))dx=(xln(x/y)-5y)dy$ se puede reordenar para $$ ln(x/y)(ydx-xdy)=-5ydy$$

El término $(ydx-xdy)$ debería resultarle familiar, recuerde $d(x/y)=(ydx-xdy)/y^2$ o $(ydx-xdy)=y^2d(x/y)$ .

Eso debería permitirte simplificar la ecuación.