Si $\lvert\operatorname{Hom}(H,G_1)\rvert = \lvert\operatorname{Hom}(H,G_2)\rvert$ para cualquier $H$ entonces $G_1 \cong G_2$

Question

Dejemos que $G_1$ y $G_2$ sean dos grupos finitos tales que para cualquier grupo finito $H$ , $\lvert\operatorname{Hom}(H,G_1)\rvert = \lvert\operatorname{Hom}(H,G_2)\rvert$ . ¿Cómo puedo demostrar que $G_1 \cong G_2$ ?

Answer 1

Una pista: Utilizando el principio de entrada y salida (también conocido como "inclusión y exclusión"), se puede calcular el número de inyectiva homomorfismos de un grupo finito $H$ a un grupo finito $G$ a partir de los valores de $\lvert\operatorname{Hom}(H/N,G)\rvert$ para cada subgrupo normal $N$ de $H$ . Por lo tanto, a partir de su suposición de que $\lvert\operatorname{Hom}(H,G_1)\rvert=\lvert\operatorname{Hom}(H,G_2)\rvert$ para todo grupo finito $H$ , se deduce que todo finito $H$ tiene el mismo número de homomorfismos inyectivos hacia $G_1$ en cuanto a $G_2$ y, en particular, que existe al menos un homomorfismo inyectivo de $G_1$ a $G_2$ y viceversa, de lo que se deduce fácilmente que $G_1\cong G_2$ . Este argumento se aplica a muchas otras estructuras finitas además de los grupos. Creo que se debe a László Lovász y que lo descubrió siendo estudiante de secundaria.

P.D. Esto ha surgido varias veces en Math Stack Exchange y Math Overflow, por ejemplo en esta respuesta que cita a L. Lovász, Operations with structures, Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 18 (1967) 321-328.

P.P.S. Intentaré presentar el argumento utilizando el principio de entrada y salida. (Sigo pensando que este argumento debe deberse a Lovász, aunque no sea el que da en la obra citada anteriormente. A menos que el argumento sea erróneo, en cuyo caso debe deberse a mí).

Dejemos que $H$ y $G$ sean grupos finitos. Sea $H\setminus\{1_H\}=\{h_1,\dots,h_n\}$ .

Para $i\in[n]=\{1,\dots,n\}$ , dejemos que $S_i=\{\varphi\in\text{Hom}(H,G):\varphi(h_i)=1_G\}$ .

Para $I\subseteq[n]$ , dejemos que $S_I=\bigcap_{i\in I}S_i=\{\varphi\in\text{Hom}(H,G):\forall i\in I\ \varphi(h_i)=1_G\}$ si $I\ne\emptyset$ y $S_\emptyset=\text{Hom}(H,G)$ .

Entonces $|S_I|=|\text{Hom}(H/N_I,G)|$ donde $N_I$ es el subgrupo normal de $H$ generado por $\{h_i:i\in I\}$ . Por el principio de entrada y salida, $$|\text{Mono}(H,G)|=|\text{Hom}(H,G)\setminus\bigcup_{i\in[n]}S_i|=\sum_{I\subseteq[n]}(-1)^{|I|}|S_I|=\sum_{I\subseteq[n]}(-1)^{|I|}|\text{Hom}(H/N_I,G)|.$$ Por lo tanto, si $H,G_1,G_2$ son grupos finitos, y si $|\text{Hom}(H/N,G_1)|=|\text{Hom}(H/N,G_2)|$ para cada subgrupo normal $N$ de $H$ entonces $|\text{Mono}(H,G_1)|=|\text{Mono}(H,G_2)|$ .

P.P.P.S. Esto no es cierto para los grupos infinitos. Si $G_1$ y $G_2$ son grupos no isomorfos tales que cada uno es isomorfo a un subgrupo del otro, entonces $|\text{Hom}(H,G_1)|=|\text{Hom}(H,G_2)|$ para todo grupo (finito o infinito) $H$ aunque $G_1\not\cong G_2$ .

Answer 2

Como se menciona en Respuesta de bof este resultado se debe a L. Lovász, Operaciones con estructuras . El argumento se encuentra en las páginas 326-327. Pero no utiliza la inclusión-exclusión, sino lo que podría llamar un fibración argumento. Permítanme presentar la prueba con mis propias palabras.

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Denotemos por $\mathrm{Hom}(-,-)$ , $\mathrm{Epi}(-,-)$ , $\mathrm{Mono}(-,-)$ los conjuntos de homomorfismos, epimorfismos y monomorfismos. Hasta el isomorfismo sólo hay un conjunto contable de grupos finitos, digamos $\{G_1,G_2,G_3,\dotsc\}$ con $G_i \not\cong G_j$ para $i \neq j$ .

Reclamación 1. Si $G,H$ son grupos finitos, entonces $$|\mathrm{Hom}(H,G)| = \sum_i \frac{|\mathrm{Epi}(H,G_i)|}{|\mathrm{Aut}(G_i)|} \cdot |\mathrm{Mono}(G_i,G)|.$$ Obsérvese que esta suma es esencialmente finita.

Prueba. Dejemos que $\mathrm{Hom}_i(H,G) \subseteq \mathrm{Hom}(H,G)$ sea el conjunto de todos los homomorfismos cuya imagen es isomorfa a $G_i$ . Entonces $\mathrm{Hom}(H,G) = \sqcup_i \mathrm{Hom}_i(H,G)$ por lo que basta con demostrar que $$|\mathrm{Hom}_i(H,G)| = \frac{|\mathrm{Epi}(H,G_i)|}{|\mathrm{Aut}(G_i)|} \cdot |\mathrm{Mono}(G_i,G)|.$$ Consideremos el mapa de composición $\mathrm{Epi}(H,G_i) \times \mathrm{Mono}(G_i,G) \to \mathrm{Hom}_i(H,G)$ . Es surjetivo, y de hecho un torsor bajo la acción obvia de $\mathrm{Aut}(G_i)$ (ya que las factorizaciones de las imágenes son esencialmente únicas). La afirmación es la siguiente. $\square$

Dejemos que $G,G'$ sean dos grupos finitos tales que $|\mathrm{Hom}(H,G)|=|\mathrm{Hom}(H,G')|$ para todos los grupos finitos $H$ .

Reclamación 2. Tenemos $|\mathrm{Mono}(H,G)| = |\mathrm{Mono}(H,G')|$ para todos los grupos finitos $H$ .

De esto se deduce inmediatamente que existe un monomorfismo $G \to G'$ y un monomorfismo $G' \to G$ . En particular $|G|=|G'|$ y por lo tanto estos monomorfismos ya son isomorfismos $G \cong G'$ .

Prueba. Por inducción en $|H|$ . Podemos descomponer $\mathrm{Hom}(H,G)$ en los monomorfismos y los homomorfismos cuya imagen es alguna $G_i$ con $|G_i| < |H|$ . Por lo tanto, la primera afirmación da $$|\mathrm{Hom}(H,G)| = |\mathrm{Mono}(H,G)| + \sum\limits_{ i,~ |G_i|< |H|} \frac{|\mathrm{Epi}(H,G_i)|}{|\mathrm{Aut}(G_i)|} \cdot |\mathrm{Mono}(G_i,G)|$$ Desde $|\mathrm{Hom}(H,G)|=|\mathrm{Hom}(H,G')|$ y $|\mathrm{Mono}(G_i,G)|=|\mathrm{Mono}(G_i,G')|$ por inducción, se deduce que $|\mathrm{Mono}(H,G)| = |\mathrm{Mono}(H,G')|$ .

Generalización teórica de la categoría. En lugar de la categoría de grupos finitos $\mathsf{FinGrp}$ podemos trabajar con cualquier categoría $\mathcal{C}$ con las siguientes propiedades:

• Por cada $G,H \in \mathcal{C}$ el conjunto $\mathrm{Hom}(G,H)$ es finito.
• Cada $G \in \mathcal{C}$ sólo tiene un número finito de subobjetos.
• Cada objeto $G \in \mathcal{C}$ tiene un tamaño $|G| \in \mathbb{N}$ tal que para cada subobjeto propio $H < G$ tenemos $|H| < |G|$ , igualmente para los cocientes propios.
• Todo morfismo en $\mathcal{C}$ factores esencialmente únicos como un epimorfismo seguido de un monomorfismo.

Obsérvese que cualquier categoría de estructuras algebraicas finitas de un tipo determinado tiene estas propiedades (este caso también fue considerado por L. Lovász). La misma prueba anterior demuestra: Si $G,G' \in \mathcal{C}$ satisfacer $|\mathrm{Hom}(H,G)|=|\mathrm{Hom}(H,G')|$ para todos $H \in \mathcal{C}$ entonces $G \cong G'$ .

Answer 3

Esta no es una respuesta completa, pero es demasiado larga para un comentario y puede convertirse en una respuesta completa cuando trabajemos juntos...

Tengo las siguientes ideas sobre cómo atacar este problema.

• Dos grupos finitos que son elementalmente equivalentes ya son isomorfos (esto es válido para estructuras finitas arbitrarias en el sentido de la teoría de modelos).
• Para demostrar que $G_1$ y $G_2$ son elementalmente equivalentes, codifican el cumplimiento de una fórmula $\phi$ en un grupo finito $G$ en términos de la cardinalidad de $\hom(H,G)$ para una elección adecuada de $H$ .
• De forma más general, codificar las propiedades e invariantes teóricas de un grupo finito $G$ en términos de estas cardinalidades $h(H) := |\hom(H,G)|$ .

Esto es lo que tengo hasta ahora:

1. Una presentación en grupo de $H$ ofrece una descripción de $h(H)$ . Por ejemplo, si $n \geq 1$ entonces $h(C_n)$ es el número de $x \in G$ con $x^n=1$ y $h(D_n)$ es el número de pares $x,y \in G$ tal que $x^n=y^2=(xy)^2=1$ .
2. El orden de $G$ es $|G|=\limsup_{n \to \infty} h(C_n)$ .
3. El exponente de $G$ es el más pequeño $n \geq 1$ tal que $h(C_n)=|G|$ .
4. La "probabilidad de conmutación" de $G$ es $h(C_{|G|} \times C_{|G|}) = |\{(x,y) \in G : xy=yx\}|$ dividido por $|G|^2$ .
5. $G$ es abeliano si y sólo si su probabilidad de conmutación es $=1$ .
6. De forma más general, supongamos que $n=|G|$ y $\omega=\omega(x_1,\dotsc,x_m)$ es una palabra de grupo tal que $H:=\langle x_1,\dotsc,x_m : x_1^n=\dotsc=x_m^n=1, \omega(x_1,\dotsc,x_m)=1\rangle$ es finito (por ejemplo, cuando el Grupo Burnside $B(m,n)$ es finito). Entonces $\omega$ desaparece en todos los elementos de $G^m$ si y sólo si $h(H)=|G|^m$ .

Otras observaciones:

1. Si existe un monomorfismo $G_1 \to G_2$ entonces debe ser un isomorfismo $G_1 \cong G_2$ . La razón es que el mapa inducido $\hom(H,G_1) \to \hom(H,G_2)$ es un mapa inyectivo entre conjuntos finitos de la misma cardinalidad, por lo que es una biyección, de modo que podemos aplicar el lema de Yoneda.

2. Si $G_1$ y por lo tanto $G_2$ es abeliano, entonces $G_1 \cong G_2$ : Podemos suponer que $G_1$ y $G_2$ son abelianos finitos $p$ -grupos para un primo $p$ , digamos que es isomorfo a $\oplus_i \mathbb{Z}/p^{a_i}$ resp. $\oplus_i \mathbb{Z}/p^{b_i}$ para secuencias crecientes $a_1 \leq \dotsc \leq a_n$ y $b_1 \leq \dotsc \leq b_m$ . Aplicando 1. a $n=p^c$ obtenemos $\prod_i \min(c,a_i) = \prod_i \min(c,b_i)$ . También sabemos $\prod_i a_i = \prod_i b_i$ de 2. Para $c=a_n$ obtenemos $\prod_i b_i = \prod_i a_i = \prod_i \min(a_n,b_i) \leq \prod_i b_i$ Por lo tanto $\min(a_n,b_i)=b_i$ para todos $i$ En particular $b_m \leq a_n$ . Por simetría, también tenemos $a_n \leq b_m$ Por lo tanto $a_n=b_m$ . Pero entonces podemos cancelar ambos y aplicar la inducción.

3. Si $G_1,G_2$ son no triviales, entonces existe un homomorfismo no trivial $G_1 \to G_2$ desde $|\hom(G_1,G_2)| = |\hom(G_1,G_1)| \geq 2$ . Del mismo modo, existe un homomorfismo no trivial $G_2 \to G_1$ . Esta es una observación bastante inútil, pero muestra que también se podría tomar $H$ para ser algún grupo construido a partir de $G_1$ o $G_2$ .