Considere la función $$f(x,\vec{v}):=g(I_t+\nabla\cdot(I\vec{v}))$$ donde $I=I(\vec{x},t)$ es la función de intensidad de la imagen, $g:\mathbb{R}\to[0,\infty)$ es continua y no negativa, $\vec{v}\in H^1(\Omega)\times H^1(\Omega)$ . Aquí $\Omega=[0,1]^2$ . Se supone que $I\in C^2(\Omega\times[0,\infty)), I_t\in L^2(\Omega),I_x,I_y\in L^\infty(\Omega)$ . Tengo que demostrar que $f$ es Lipschitz wrt $\vec{v}$ proporcionó $g$ es uniformemente Lipschitz en toda bola cerrada de radio $r$ , $\bar{B(r)}\subseteq\mathbb{R}$ con la constante de Lipschitz $L_r$ . Esto es lo que he probado hasta ahora. \begin{align*} |f(x,\vec{v})-f(x,\vec{v}_0)|&=|g(I_t+\nabla\cdot(I\vec{v}))-g(I_t+\nabla\cdot(I\:\vec{v}_0))|\\ &\le L_r|I_t+\nabla\cdot(I\vec{v})-I_t+\nabla\cdot(I\vec{v}_0)|\\ &\le L_r|\nabla\cdot\{I(\vec{v}-\vec{v}_0)\}|\\ &\le L_r|\nabla I\cdot(\vec{v}-\vec{v}_0))|+L_r|I\nabla\cdot(\vec{v}-\vec{v}_0))| \end{align*} Usando la hipótesis dada, podemos demostrar que la primera parte satisface los límites $$|\nabla I\cdot(\vec{v}-\vec{v}_0))|\le\sqrt 2CL_r\|\vec{v}-\vec{v}_0\|$$ donde $C=\max\{|I_x|^2,|I_y|^2\}$ . Estoy atascado con la segunda parte. ¿Cómo obtener el límite requerido para la segunda parte? ¿Necesitamos algún requisito adicional para $I$ ? Cualquier ayuda será apreciada. Gracias.
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David-W-Fenton
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Dudo que esta afirmación sea correcta. Para un contraejemplo, considere $g(x) = |x|^p$ con grandes positivos $p$ y $I_t = 0, I = 1$ . Entonces $$ f(x,\vec{v}) = |\nabla \cdot \vec{v}|^p $$ Si $p > 2$ esta expresión ni siquiera tiene que ser integrable sobre $\Omega$ ya que $\nabla \cdot \vec{v}$ es sólo en $L^2(\Omega)$ .
