Desigualdad que implica pares conjugados de numerador/denominador

Question

Pregunta es resolver:

$$\frac{(x-2)(x-4)(x-7)}{(x+2)(x+4)(x+7)} > 1$$

Pensé que podía negar los términos para hacerlos iguales (es decir $-(x-2)$ ), pero eso no ocurre. Podría restar $1$ de cada lado pero eso sería $(very)^2$ trabajo pesado. ¿Hay alguna forma sencilla de hacerlo?

Answer 1

Parece que obtendrás una desigualdad cuadrática si multiplicas por el denominador y luego expandes.

Considere los siguientes casos:

$x<-7$
$-7<x<-4$
$-4<x<-2$
$x>-2$

El signo del denominador en cada caso te indica qué hacer con el signo de la desigualdad al multiplicar.

Answer 2

Esta es la primera forma de resolver esta cuestión.

La fracción sería mayor que $1$ en dos casos:

Caso I: $(x-2)(x-4)(x-7)$ y $(x+2)(x+4)(x+7)$ son ambos positivos y $(x-2)(x-4)(x-7) > (x+2)(x+4)(x+7)$ .

Caso II: $(x- 2)(x-4)(x-7)$ y $(x+2)(x+4)(x+7)$ son ambos negativos y $(x-2)(x-4)(x-7) < (x+2)(x+4)(x+7)$ .

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De otra manera, y la preferible, es llevar el denominador al otro lado, pero aquí también, considera los casos. Cuando el denominador es negativo, entonces cambia el sentido de la desigualdad y cuando no lo es, déjalo igual.

No lo multipliques directamente porque el denominador tiene diferentes signos en diferentes intervalos.

Concéntrese en la "y", que significa que en cada caso, primero encuentra los intervalos para la primera condición, luego el(los) intervalo(s) para la segunda condición, y luego toma su intersección .

Answer 3

Otra forma sería multiplicar todo por $(x+2)^2(x+4)^2(x+7)^2$ que es positivo ( $x =-2,-4,-7$ no están permitidos de todos modos), para obtener $$(x^2-4)(x^2-16)(x^2-49)>(x+2)^2(x+4)^2(x+7)^2$$

Recogiendo los términos en el LHS y factorizando, esto es equivalente a $$-2(x+7)(x+4)(x+2)(13x^2+56)>0$$ y ahora comprobando los intervalos en los que el LHS puede cambiar de signo se obtiene la respuesta $x \in (-\infty, -7) \cup (-4,-2)$ .