Demostrar que $\omega(v,u)=0$ $\forall u \in \mathbb R^m$ .

Question

Si $\omega:\mathbb R^m\times \mathbb R^m\to \mathbb R$ un tensor de 2 alternantes. Demostrar que si $m$ es impar entonces existe $v\in \mathbb R^m$ tal que $\omega(v,u)=0$ $\forall u\in \mathbb R^m$ . No tengo ni idea de cómo empezar a utilizar la definición, por lo tanto $\omega$ es un tensor 2 alternante, entonces $\omega(x,y)=-\omega(y,x)$ .

Así, por ejemplo $\omega(x,x)=0\quad\forall x\in \mathbb R^m$ Si supongo que existe $\tilde{v}$ entonces $\omega(\tilde{v},u)=\omega(\tilde{v},u)+\omega(u,u)$ implica $\omega(\tilde{v}+u,u)=\omega(\tilde{v},u)=-\omega(u,\tilde{v})$ . Pero qué puedo hacer con todas las igualdades, cómo usar eso $\mathbb R^m$ donde $m$ es impar, alguien puede ayudarme por favor, gracias.

Answer 1

Representar a $\omega$ como el $m\times m$ matriz $\omega_{ij} = \omega (e_i, e_j)$ , donde $\{e_1, \cdots, e_m\}$ es la base estándar de $\mathbb R^n$ . Entonces $\omega_{ij} = -\omega_{ji}$ desde $\omega$ es simétrica. Por lo tanto, la matriz $W = (w_{ij})$ satisface $W^t = -W$ . Entonces

$$\det W = \det W^t = \det (-W) = (-1)^m \det W = -\det W$$ desde $m$ es impar. Así, $\det W = 0$ y existe un vector no trivial $v =(v_1, v_2, \cdots, v_n)$ para que $Wv=0$ . Esto significa que

$$ \omega (v, u) = 0$$ para todos $u\in \mathbb R^m$ .