confusión sobre el teorema de parada opcional (martingalas)

Question

Si $X_n$ es una martingala y $T$ es un tiempo de parada con $P(T \leq n) = 1$ para algunos $n$ entonces se aplica el teorema de parada opcional: $\mathbb{E}(X_T) = \mathbb{E}(X_0)$ . A veces es difícil demostrar que el tiempo de parada $T$ está acotado a.s, por lo que en su lugar creo que se puede demostrar que $|X_{\min(T,n)}| \leq k$ para algunos $k$ . ¿Es esto suficiente para obtener la conclusión de la TSO (que las expectativas en el momento $T$ y $0$ son iguales)? Sé que en este caso el SES implica que $EX_{\min(T,n)}$ existe, pero ¿y qué?

(He buscado por todas partes esa definición pero no la encuentro)

Answer 1

Desde $X_{\min(T,n)}$ es una martingala (véase por ejemplo el libro de David Williams, "Probability with Martingales"), tenemos $\mathbf{E}[X_{\min(T,n)}-X_0]=0$ para todos $n$ . Si su condición se mantiene, podemos utilizar la convergencia dominada para tomar el límite como $n \rightarrow \infty$ y concluye $\mathbf{E}[X_T-X_0]=0$ .