¿Son los espacios relativamente compactos la unión finita de subconjuntos abiertos?

Question

Supongamos que $X$ es un espacio topológico y $U\subset X$ es un conjunto abierto relativamente compacto, es decir $\overline{U}$ es compacto. Si $\mathcal{B}$ es una base de $X$ ¿es cierto que $U$ es la unión finita de elementos de $\mathcal{B}$ ?

Si la primera pregunta tiene respuesta negativa qué podemos decir de $X=\mathbb{R}^n$ y $\mathcal{B}$ la cubierta abierta canónica de bolas de radio racional y centro en $\mathbb{Q}^n$ ?

Answer 1

Toma $X = \mathbb R^2$ y $U = (0,1)\times (0,1)$ . Toma $\mathcal B$ para ser la cubierta abierta canónica de las bolas abiertas - no importa si se restringe a las que tienen centro y radio racionales o no. $\bar U$ es compacto, pero $U$ no es una unión finita de bolas, ya que es imposible "rellenar las esquinas" de $U$ con sólo un número finito de bolas.