En cuanto a la resolución de la ecuación diferencial parcial mediante el método de las características

Question

Me gustaría resolver el p.d.e de $(a+b)f_a + (a-b)f_b -f =2$ sujeta a la condición inicial $f(a,0)=0$ con $a > 0$ .

Así, las ecuaciones características serán $a_t(t,s)=a+b$ , $b_t(t,s)=a-b$ y $f_t(t,s)=f+2$ .

También las condiciones iniciales paramétricas serán $a(0,s)=s$ , $b(0,s)=0$ y $f(0,s)=0$ .

Dado que el jacobiano es $-s \neq 0$ tenemos una solución única.

La solución de las ecuaciones utilizando el o.d.e es por tanto $a(t,s)=\frac{1}{4}se^{-\sqrt{2}t}((2+\sqrt{2})e^{2\sqrt{2}t}+2-\sqrt{2})$ , $b(t,s) = \frac{1}{2\sqrt{2}}se^{-\sqrt{2}t}(e^{2\sqrt{2}t}-1)$ y $f(t,s) = 2e^t - 2$ .

Ahora me gustaría completar el cálculo expresando $t$ y $s$ en términos de $a$ y $b$ (y por lo tanto expresando $f$ en términos de $a$ y $b$ ), pero no tengo ni idea de cómo abordarlo. De hecho, sospecho que la metodología que he utilizado no es correcta. Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

No he comprobado tu cálculo. Suponiendo que sea correcto, la solución sería : $$a(t,s)=\frac{1}{4}se^{-\sqrt{2}t}((2+\sqrt{2})e^{2\sqrt{2}t}+2-\sqrt{2})$$ $$b(t,s) = \frac{1}{2\sqrt{2}}se^{-\sqrt{2}t}(e^{2\sqrt{2}t}-1)$$ $$f(t,s) = 2e^t - 2$$ Mi respuesta es sólo sobre el método para encontrar $f(a,b)$ explícitamente.

Dejemos que $\quad X=\left(\frac{f-2}{2}\right)^{2\sqrt{2}}\quad;\quad e^{2\sqrt{2}t}=X$

$$a=\frac{1}{4}sX^{-1/2}((2+\sqrt{2})X+2-\sqrt{2})$$ $$b = \frac{1}{2\sqrt{2}}sX^{-1/2}(X-1)$$ Eliminamos $s$ : $$\frac{a}{b}=\frac{\frac{1}{4}((2+\sqrt{2})X+2-\sqrt{2})}{ \frac{1}{2\sqrt{2}}(X-1) }$$

$$\frac{a}{b}\frac{1}{2\sqrt{2}}(X-1)- \frac{1}{4}((2+\sqrt{2})X+2-\sqrt{2})=0$$

Resuelve esta ecuación lineal para $X$ . Esto lleva a $X$ en función de $\frac{a}{b}$ . Entonces: $$f(a,b)=2+2X^{1/2\sqrt{2}}$$