Demostrar que todo conjunto abierto en $\mathbb{R}$ es la unión de una colección a lo sumo contable de segmentos disjuntos.

Question

Mi intento:

Sabemos que $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$ Ahora, consideramos un conjunto abierto $S$ en $\mathbb{R}$ entonces deja que $x \in S$ , $x$ es un punto interior de $S$ y podemos conseguir un balón abierto $(x-r,x+r)$ , $r>0$ contenida en $S$ . Desde $\mathbb{Q}$ es denso, dejemos que $q_1 \in (x-r,x+r)$ ahora, $q_1 \in (x-r,x+r)$ y que $r_1=|q_1-x|$ Consideramos el número racional $ > r_1$ (que es posible elegir como $\mathbb{Q}$ es denso ) y llamémoslo $d_1$ y consideramos la bola abierta $(q_1-d_1,q_1 +d_1)$ que contendrá $x$ .

Elegimos $x' \in S$ y considerar $r_2>0$ tal que $(x'-r_2,x'+r_2) \cap (q_1-d_1,q_1+d_1) = \phi$ si tal $r_2$ no existe entonces podemos concluir que $x' \in (q_1-d_1,q_1+d_1)$ . Repitiendo este proceso podemos concluir que el conjunto abierto $S $ puede escribirse como la unión de segmentos disjuntos.

Desde $\mathbb{Q}$ es contable, entonces se puede demostrar que la unión de este segmento disjunto también es contable.

Estoy tratando de hacer Rudin por mi cuenta y necesito a alguien para comprobar mis pruebas.Sé que esto podría ser un duplicado, pero si alguien va a través de mi prueba y recoge mi error y una forma probable de salir que sería útil.

Answer 1

En conjunto abierto $S$ se puede decir que los elementos $x,y\in S$ están relacionados si el intervalo cerrado (o singleton) determinado por ellos es un subconjunto de $S$ .

(Así que $x\sim y$ si $x=y$ o $x<y$ y $[x,y]\subseteq S$ o $y<x$ y $[y,x]\subseteq S$ )

Se puede demostrar que esta relación es una relación de equivalencia y que las clases de equivalencia son abiertas.

Ahora la densidad de $\mathbb Q$ viene a demostrar que hay a lo sumo clases de equivalencia contables.

Answer 2

Utilizamos los siguientes hechos: los subconjuntos abiertos conectados de $\mathbb R$ son los intervalos abiertos. La unión de dos conjuntos conexos con un punto en común es conexa, por lo que si dos intervalos tienen un punto en común, su unión es un intervalo.

Una prueba cuidadosa, por pasos:

$1).\ $ Todo conjunto abierto $U$ es una unión disjunta de intervalos:

Fijar $x\in U$ y que $C_x$ sea la unión de todos los intervalos en $U$ que contienen $x.\ C_x$ no está vacío porque $U$ está abierto.

Reclamación: $C_x$ es un intervalo. Es claramente abierto. Así que ahora supongamos $y,z\in C_x$ y $y<w<z.$ Entonces, $y$ y $z$ están contenidos en intervalos $I_y$ y $I_z$ cada una de las cuales está contenida en $U$ y contiene $x$ . Y como están conectados y tienen el punto $x$ en común, su unión $I:=I_y\cup I_z$ es conexo y por lo tanto es un intervalo. Pero ahora hemos terminado porque $I$ contiene $y$ y $z$ y por lo tanto debe contener $w$ . Por lo tanto, $C_x$ es un intervalo.

$2).\ C_x\cap C_y=\emptyset$ siempre que $x\neq y.$ Porque, si $z\in C_x\cap C_y$ entonces $C_x\cup C_y$ es la unión de dos intervalos con el punto $z$ en común, y también un intervalo. De ello se desprende que $C_x\cup C_y\subseteq C_x$ y $C_x\cup C_y\subseteq C_y$ así que $C_x\cup C_y\subseteq C_x\cap C_y.$ Entonces, $C_x\cup C_y=C_x\cap C_y.$ Eso es, $x=y$ .

$1).\ $ y $2).\ $ demostrar que $U=\bigsqcup_{x\in U} C_x$

$3).\ $ La unión es realmente contable: esto se deduce inmediatamente, ya que podemos elegir un racional $r_x$ en cada $C_x$ y observe que, dado que el $C_x$ son disjuntos, $r_x\mapsto C_x$ inyecta un subconjunto de los racionales en $\{C_x\}_{x\in U}.$

Answer 3

Bueno siendo técnicamente correcto el hecho de que "reapretando este proceso podemos concluir algo" no demuestra nada a menos que demuestres que de hecho podemos concluirlo.

La idea básica de la prueba es que podemos aproximar cada intervalo abierto en $\mathbb{R}$ utilizando intervalos abiertos con extremos racionales.

Tome cualquier conjunto abierto $U\subseteq\mathbb{R}$ . Ahora toma $x\in U$ - por la definición existe un intervalo abierto s.t $x\in I\subseteq U$ . Para dicho intervalo $I$ podemos encontrar un intervalo $J$ s.t $I\subseteq J\subseteq U$ y no hay un intervalo "mayor" en $U$ que contiene $J$ . Tomemos una familia de todos esos intervalos máximos en $U$ . Cada segmento contiene racionales por lo que se resuelve la contabilidad. ¿Puedes ver que cada intervalo en tal familia es disjunta?