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La aguja de Buffon. Probabilidad de cruzar la línea.

El problema: Una mesa está regida por líneas paralelas equidistantes, separadas por 1 pulgada. Una aguja de 1 pulgada se lanza al azar sobre la mesa. ¿Cuál es la probabilidad de que se cruce con una línea?

Describamos la distancia del centro de la aguja a la línea más cercana mediante $D$ y el menor ángulo entre la aguja y y esa línea por $A$ Al dibujar una figura se llega a la conclusión de que la aguja interseca una línea si $D/\sin{A}\le 1/2.$

La parte "al azar" es una pista de que las variables aleatorias $D\sim\text{unif}[0,1/2]$ y $A\sim\text{unif}[0,\pi/2]$ son independientes.

Ahora mi libro establece un corolario:

$$P((X,Y)\in B)=\int_{-\infty}^{\infty}P((x,Y)\in B)f_X(x) \ \text{d}x. \tag{1}$$

Quiero calcular $P\left(D/\sin{A}\le 1/2\right)$ utilizando (1). Pero el problema es que no entiendo el corolario. ¿Qué es? $B$ en mi caso? ¿Y qué es $P((x,Y)\in B)$ ?

Tengo entendido que arreglan $X=x$ y yo puedo hacer lo mismo con $A=a$ y escriba lo siguiente

$$P\left(\frac{D}{\sin{A}}\le \frac{1}{2}\right)=\int_{-\infty}^\infty P\left(\frac{D}{\sin{a}}\le \frac{1}{2}\right)f_A(a)\ \text{d}a.$$

Con el conocimiento de que $f_A(a)=1/(\pi/2)=2/\pi$ , $f_D(d)=2$ y

$$P\left(\frac{D}{\sin{a}}\le \frac{1}{2}\right)=P\left(D\le\frac{\sin{a}}{2}\right)=\int_0^{\sin{a}/2}2\ \text{d}d=\sin{a},$$

Finalmente obtengo

$$P\left(\frac{D}{\sin{A}}\le \frac{1}{2}\right)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi/2}\sin{a}\ \text{d}a=\frac{2}{\pi.}$$

Respuesta correcta pero sigo sin saber muy bien qué hago aquí con el corolario. Mis preguntas están en negrita arriba.

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E-A Puntos 81

Respuesta corta:

  • $B$ en esta pregunta sería un conjunto. $B = \{(u,v) : \frac{v}{sin u} \leq \frac{1}{2} \} $ .
  • Es la probabilidad de $(x,Y)$ estar en el set $B$ .

Respuesta larga:

Para comprender y apreciar todo lo que hay en esta pregunta, tenemos que entender realmente lo que significa P(A), lo que es una variable aleatoria y la notación abreviada que utilizamos.

Formalmente, se tiene un espacio de resultados subyacente, llamémoslo $\Omega$ . (Piense en una tirada de dados: su conjunto de resultados podría representarse como $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\})$ . Ahora, $\Omega$ tiene subconjuntos de resultados que puede observar. (Por ejemplo, se puede comprobar si el resultado es par o no. Así, un evento $A$ puede ser $A = \{2,4,6\}$ .). Así, cuando escribimos P(A), estamos medir efectivamente el tamaño de un conjunto . P(A) toma un conjunto (A) y devuelve un número entre 0 y 1 para indicar el tamaño (o la probabilidad) del mismo.

Ahora, las variables aleatorias son esencialmente funciones que dan valores (reales) a sus resultados . Así, una variable aleatoria natural para las tiradas de dados sería una "variable aleatoria de identidad" I tal que cuando toma una entrada $\omega \in \Omega$ devuelve su valor: $I(\omega) = \omega$ . (en este caso, como nuestras entradas eran números reales para empezar, esta asignación está bien). Otro conjunto de variables aleatorias populares son las variables aleatorias indicadoras; éstas devuelven 0 o 1 dependiendo de alguna propiedad de $\omega$ . (Por ejemplo, para la configuración de las tiradas de dados, se puede tener una variable aleatoria $E(\omega)$ que devuelve 1 si $\omega \in \{2,4,6\}$ y 0 en caso contrario. Esta variable aleatoria "indica" si $\omega$ era uniforme o no).

Ahora, siempre utilizamos una notación abreviada: $P(E = 1)$ en sí mismo no significaría nada; $E$ es una función y $1$ es un número, por lo que " $E = 1$ " es sólo una expresión lógica, que es verdadera para algunas entradas y falsa para otras: no es un conjunto. Utilizamos esta notación para indicar $P(\{\omega : E(\omega) = 1\})$ que, efectivamente, está bien definida como en el caso anterior.

Ahora, vamos a tu pregunta:

  • $((X,Y) \in B)$ es de nuevo alguna forma de expresión lógica. En este caso, estamos comprobando si $(U, V)$ satisface una determinada desigualdad, y $B$ es, por tanto, el conjunto de $U,V$ que lo satisfagan. $B = \{(u,v) : \frac{v}{sin u} \leq \frac{1}{2} \} $ .
  • Ahora, fija x. Ahora, estás comprobando el tamaño del conjunto de todos $\omega$ s que tienen $(x, Y(\omega))$ que están en el conjunto $B$ .

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Leeré esto unas cuantas veces y te responderé con preguntas. ¡Muchas gracias por el tiempo que te has tomado para escribir esta hermosa respuesta!

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Iain Climie Puntos 11

La parte divertida de esto es que, aparentemente, hay diferentes interpretaciones que se pueden dar al "azar", aunque la sugerida me parece razonable. No hace falta decir que dan respuestas diferentes.

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