El problema: Una mesa está regida por líneas paralelas equidistantes, separadas por 1 pulgada. Una aguja de 1 pulgada se lanza al azar sobre la mesa. ¿Cuál es la probabilidad de que se cruce con una línea?
Describamos la distancia del centro de la aguja a la línea más cercana mediante $D$ y el menor ángulo entre la aguja y y esa línea por $A$ Al dibujar una figura se llega a la conclusión de que la aguja interseca una línea si $D/\sin{A}\le 1/2.$
La parte "al azar" es una pista de que las variables aleatorias $D\sim\text{unif}[0,1/2]$ y $A\sim\text{unif}[0,\pi/2]$ son independientes.
Ahora mi libro establece un corolario:
$$P((X,Y)\in B)=\int_{-\infty}^{\infty}P((x,Y)\in B)f_X(x) \ \text{d}x. \tag{1}$$
Quiero calcular $P\left(D/\sin{A}\le 1/2\right)$ utilizando (1). Pero el problema es que no entiendo el corolario. ¿Qué es? $B$ en mi caso? ¿Y qué es $P((x,Y)\in B)$ ?
Tengo entendido que arreglan $X=x$ y yo puedo hacer lo mismo con $A=a$ y escriba lo siguiente
$$P\left(\frac{D}{\sin{A}}\le \frac{1}{2}\right)=\int_{-\infty}^\infty P\left(\frac{D}{\sin{a}}\le \frac{1}{2}\right)f_A(a)\ \text{d}a.$$
Con el conocimiento de que $f_A(a)=1/(\pi/2)=2/\pi$ , $f_D(d)=2$ y
$$P\left(\frac{D}{\sin{a}}\le \frac{1}{2}\right)=P\left(D\le\frac{\sin{a}}{2}\right)=\int_0^{\sin{a}/2}2\ \text{d}d=\sin{a},$$
Finalmente obtengo
$$P\left(\frac{D}{\sin{A}}\le \frac{1}{2}\right)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi/2}\sin{a}\ \text{d}a=\frac{2}{\pi.}$$
Respuesta correcta pero sigo sin saber muy bien qué hago aquí con el corolario. Mis preguntas están en negrita arriba.