Subgrupos de $G=(\mathbb{Z}_{12},+)$

Question

1. Dibuje el diagrama de Hasse para la red de subgrupos de $G=(\mathbb{Z}_{12},+)$
2. Identificar los subgrupos $K=\langle [6]\rangle$ y $L=\langle [9]\rangle$ en su diagrama. ¿Qué son $K\cap L$ y $\langle K,L\rangle$ ?

Al resolver los problemas anteriores de un examen de práctica, me he dado cuenta de un par de cosas que me gustaría que me aclararan:

• Todos los subgrupos generados por $\langle[x]\rangle$ tal que $gcd(x,12)=1$ tienen un orden de 12 (generan todo el conjunto $\mathbb{Z}_{12}$ ). ¿Es generalmente cierto que cualquier grupo $G=(\mathbb{Z}_i,+)$ es generado por $\langle [x]\rangle$ si $gcd(x,i)=1$ ? Si es así, ¿bajo qué teorema?
• También parece que para todos los $x\leq 12$ , $\langle[x]\rangle=\langle[12-x]\rangle$ . Por ejemplo, $\langle[4]\rangle=\langle[8]\rangle$ y $\langle[3]\rangle=\langle[9]\rangle$ . ¿Es esto también cierto en general (es decir, para cualquier grupo $G=(\mathbb{Z}_i,+)$ ), ¿o es sólo una casualidad?
• Desde $\langle[6]\rangle\subset\langle[9]\rangle=\langle[3]\rangle$ Estoy suponiendo que $K\cap L=\langle[6]\rangle$ . ¿Es esto correcto?
• En $\langle K,L\rangle=K\cup L$ en el caso de que $K\subseteq L$ o $L\subseteq K$ ? En este caso, parece que sí, ya que $K=\{[0],[6]\}$ y $L=\{[0],[3],[6],[9]\}$ y $\langle K,L\rangle=\{[3]^0,[3]^1,[3]^2,[3]^3\}$

Answer 1

• Sí, en general es cierto. Supongamos que GCD $(x,i)=1$ . Entonces existe $a,b\in\mathbb{Z}$ tal que $$ax+yi=1.$$ Si multiplicamos la ecuación anterior con $k\in\mathbb{Z_i}$ obtenemos $$axk+kiy=k,$$ así que $$axk\equiv k(mod i).$$ De ahí se concluye que existe $n\in\mathbb{N} (n=xk)$ tal que $an=k, \forall k\in \mathbb{Z_i}$ lo que significa $\langle x\rangle =\mathbb{Z_i}$ .

• Veamos $\mathbb{Z_i}$ . Desde $0\in \langle x\rangle $ y $-x\in \langle x\rangle $ obtenemos $i-x\in \langle x\rangle $ Así que $\langle i- x\rangle \subseteq \langle x\rangle $ . En el otro lado $(i-1)(i-x)=(i-1)(-x)=x\in \langle x\rangle $ Así que $\langle x\rangle \subseteq \langle i-x\rangle$ . De estas dos se desprende la igualdad.

• Sí, es correcto.

• Si $K\subseteq L$ entonces $\langle K, L\rangle =\langle L\rangle$ .

Answer 2

El orden de un elemento en este subgrupo depende de los divisores es acciones con 12. Si el máximo común divisor de x y 12 es 1, entonces habrá que sumar x a sí mismo 12 veces ( $12x$ ) para obtener un múltiplo de 12, es decir, la identidad en el grupo. Esto es precisamente lo que significa tener orden 12, es decir, que el orden del subgrupo que genera es 12. Este argumento funciona en general para $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ .

Lo que hace al decir $\gcd(x,12)=1$ es decir la orden de $x$ no divide (correctamente) $12$ (el orden del grupo). Así que por el teorema de Lagrange, $x$ no puede generar un subgrupo propio.

Su segundo punto se desprende de la definición de subgrupo cíclico. El subgrupo $\langle x \rangle$ contiene elementos de la forma $ax\mod 12$ , donde $a \in \mathbb{N}$ . Mientras que los elementos en $\langle 12 - x \rangle$ contiene elementos de la forma $a(12-x) = 12a -ax \equiv -ax$ mod 12. Sin embargo, debe quedar claro que un subgrupo generado por el inverso de un elemento es el mismo que el subgrupo generado por el elemento. Por lo tanto, $x$ y $12-x$ siempre generará el mismo subgrupo.

Su tercer punto es correcto.