Considere el función generadora $$f(x) = \sum_ {k=0}^{ \infty } F_k x^k$$
donde $F_k$ son los números de Fibonacci. La recurrencia de Fibonacci $F_k = F_{k-1} + F_{k-2}$ da $$f(x) = x + \sum_ {k=2}^{ \infty } (F_{k-1} + F_{k-2}) x^k = x + \sum_ {k=1}^{ \infty } F_k x^{k+1} + \sum_ {k=0}^{ \infty } F_k x^{k+2} = x + (x + x^2) f(x).$$
De ello se deduce que $(1 - x - x^2) f(x) = x$ así que $$f(x) = \frac {x}{1 - x - x^2}.$$
En sustitución de $x = \frac {1}{10}$ concluimos que $$ \sum_ {k=0}^{ \infty } \frac {F_k}{10^k} = \frac {10}{89}.$$
De manera similar, la sustitución de $x = - \frac {1}{10}$ concluimos que $$ \sum_ {k=0}^{ \infty } (-1)^k \frac {F_k}{10^k} = - \frac {10}{109}.$$
Las funciones de generación son un método muy poderoso para comprender muchas secuencias en la combinatoria y otras áreas de las matemáticas. En este ejemplo podemos usar la función generadora para ir aún más lejos: a través de descomposición parcial de la fracción podemos deducir rápidamente La fórmula de Binet $$F_k = \frac { \phi ^k - \varphi ^k}{ \phi - \varphi }$$
para los números de Fibonacci, donde $ \phi , \varphi $ son las dos raíces de $x^2 = x + 1$ y esta idea se generaliza a otras secuencias definidas por una recurrencia lineal.
Una referencia estándar sobre las funciones de generación es la de Wilf generandofunctionología .
