Es el normalizador de un Sylow $p$ -subgrupo es un $p$ -¿Grupo?

Question

Dado un grupo $G$ y un Sylow $p$ -subgrupo $P$ de $G$ es el normalizador $N(P)$ de $P$ a $p$ -¿Grupo?

Creo que puede no ser un $p$ -grupo, por lo que si hay un elemento $g \in G$ tal que $g \in N(P)$ y $g \notin P$ El orden de $g$ no es un poder de $p$ desde $g \notin P$ y $P$ es el máximo subgrupo p de $G$ .

Answer 1

No es cierto en general. Si $G$ no es un $p$ -grupo con un normal Sylow $p$ -subgrupo, entonces $N_G(P)=G$ . Ejemplo: $G=S_3$ , $P=A_3$ .

Answer 2

$N(P)$ es un $p$ -si y sólo si $N(P)=P$ porque $P$ es un máximo $p$ -subgrupo. Cualquier subgrupo que contenga adecuadamente $P$ no puede ser un $p$ -grupo.

Answer 3

Si $N(P)$ eran un $p$ -grupo, ya que $N(P) \supseteq P$ que es, por definición, un máximo $p$ -grupo, esto implicaría que $P=N(P)$ .

Así que la respuesta es no, sucede si y sólo si $P$ se autonormaliza (véase la otra pregunta que usted ha preguntado sobre eso).