¿Conjuntos densos en el espacio de Hilbert de secuencias cuadradas sumables?

Question

Dejemos que $l^2 = \{x = (x_n)| x_n \in \mathbb{R}, \sum_{n=1}^{\infty} x_n^2 < \infty\}$ sea el espacio de Hilbert de las secuencias cuadradas sumables y sea $e_k$ denotan el $k^{th}$ vector de coordenadas (con $1$ en $k^{th}$ lugar, $0$ en otro lugar). ¿Cuál de los siguientes subespacios NO es denso en $l^2$ ?

1. span $\{e_1-e_2, e_2-e_3, \ldots\}$

2. span $\{2e_1-e_2, 2e_2-e_3, \ldots\}$

3. span $\{e_1-2e_2, e_2-2e_3, \ldots\}$

4. span $\{e_2, e_3, \ldots\}$

Por definición, tenemos que demostrar que para cualquier $x \in l^2$ y para cualquier $\epsilon > 0$ existe $y$ en los conjuntos respectivos, de manera que $\|x-y\| < \epsilon$ . ¿Cómo seguir adelante?

Answer 1

Es mucho más fácil tratar de analizar el complemento ortogonal de estos conjuntos en lugar de construir el elemento aproximador explícitamente.

Para el ejemplo (1), se trata de escribir $e_1$ como una combinación lineal de $e_k-e_{k+1}$ lleva a la suma infructuosa $$ e_1 = (e_1-e_2) + (e_2-e_3) + \dots $$ El truncamiento prematuro no permite obtener algo que tenga poca distancia con $e_1$ .

Para resolver (1) y (2), tome un vector arbitrario en el complemento ortogonal de los conjuntos en cuestión. Es fácil demostrar que este vector es constante (1) o es un múltiplo de $(1,2,4,8,\dots)$ (2). Por tanto, el vector es cero y los conjuntos son densos.

Intentar hacer lo mismo debería generar fácilmente un vector no nulo en el complemento ortogonal de los conjuntos en (3) y (4).

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Ahora que sabemos que el conjunto en (1) es denso, podemos intentar construir una aproximación convergente de $e_1$ . Resulta que $$ x_n = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{n-k}n (e_k-e_{k+1}) $$ hace el truco: $$ \|e_1-x_n\|_{l^2}^2 = \frac1{n^2} + \sum_{k=2}^{n-1}( \frac{n-k}{n}- \frac{n-k+1}{n})^2 + \frac1{n^2}= \frac{n}{n^2}=\frac1n \to 0 \quad\text{ for } n\to\infty. $$