Área del copo de nieve de Koch generalizado

Question

En el copo de nieve de Koch, la iteración z es un triángulo equilátero, y la iteración n se hace añadiendo un triángulo equilátero directamente en el centro de cada lado de la iteración anterior. El área del copo de nieve de Koch es $8/5$ el área del triángulo inicial.

Si quisiera generalizar esto a otros polígonos regulares, como cuadrados, pentágonos, etc, el área, contando la superposición, es $\frac{8}{8-n}$ veces el área del polígono inicial, donde $n$ es el número de lados, y $n < 8$ . El área no converge para $n \ge 8$ .

El problema de esta zona es que cuenta con múltiples solapamientos (en el caso de $n > 4$ ; $n = 3$ y $n = 4$ no se superponen). Si una sección del "copo de nieve generalizado" se cubre varias veces, cuenta todas ellas, no sólo una. ¿Cómo puedo encontrar el área del "copo de nieve generalizado", contando las áreas cubiertas múltiples veces sólo una?

Edición: En estos copos de nieve, el lado de un polígono añadido en el $n$ La tercera iteración tiene $1/3$ la longitud de un lado de un polígono añadido en el $(n-1)$ iteración.

Edición 2: Creo que el área del hexágono ( $n = 6$ ) es $12/5$ el área del hexágono original. Sin embargo, no estoy seguro de esto.

Answer 1

Como conjeturó por primera vez OP, para el hexágono ( $n = 6$ ), el área del copo de nieve de Koch generalizado es efectivamente igual a $\frac{12}{5}$ de la del hexágono de la semilla.

Esto se reduce a la siguiente observación. Cuando se escala el hexágono semilla para que su área sea dos tercios de la de un triángulo semilla, el copo de nieve Koch generalizado generado a partir del hexágono semilla "parece" el mismo que el copo de nieve Koch generado a partir del triángulo semilla.

A continuación se ilustra lo que ocurre a nivel de iteración $\ell = 0,1,2,3$
(superior izquierda, superior derecha, inferior izquierda, inferior derecha).

El hexágono semilla y las formas generadas a partir de él están coloreadas en rojo. El triángulo semilla y las formas generadas a partir de él están coloreadas en amarillo.

Como puede ver, no hay nada en rojo en la figura anterior. En su lugar, vemos vemos un montón de regiones de color naranja. Esto se debe a que hemos renderizado los triángulos semilla y sus descendientes en $50\%$ opacidad y superponerlos sobre del hexágono semilla y sus descendientes.

No hay nada en rojo porque en cada iteración, el descendiente del triángulo cubre completamente al descendiente del hexágono.

En cada nivel de iteración $\ell$ su "diferencia" es un montón de triángulos amarillos de lado $\frac{1}{3^{\ell+1}}$ de la del triángulo semilla. Si el triángulo semilla tiene área unitaria, el área de cada triángulo amarillo es $\frac{1}{9^{\ell+1}}$ . Sea $n_\ell$ sea el número de estos triángulos. Si se comparan los triángulos amarillos en el nivel de iteración $\ell$ a que en la iteración $\ell-1$ . Encontramos que podemos agrupar los triángulos en el nivel $\ell$ en unidades de tres. Una unidad puede venir de un triángulo en el nivel $\ell-1$ o recién engendrado en un borde descendente del triángulo en el nivel $\ell-1$ . Esto conduce a la siguiente relación recursiva para $n_\ell$ .

$$n_\ell = \begin{cases} 3, & \ell = 0\\ 3(n_{\ell-1} + 3\cdot 4^{\ell-1}), &\ell > 0\end{cases}$$

Resolver esto nos da $n_\ell = 9\cdot 4^\ell - 6\cdot3^\ell$ . El área total de los triángulos amarillos es $\frac{n_\ell}{9^{\ell+1}} = \left(\frac49\right)^\ell - \frac{2}{3^{\ell+1}}$ . Como esto converge a $0$ como $\ell \to \infty$ y sabemos que el área de los copos de nieve de Koch convergen en $\frac85$ . El área de los descendientes del hexágono también convergen a $\frac85$ .

Como resultado, el área del copo de nieve de Koch generalizado es $\frac85\left/\frac23\right. = \frac{12}{5}$ de la del hexágono de la semilla.