Demostrar que la multiplicación de anillos en módulos forma homomorfismo y $(\alpha-\beta)x = \alpha(x)-\beta(x)$

Question

Mi libro tiene la siguiente pregunta:

Demostrar que, para cualquier elemento dado $x$ de un módulo arbitrario $X$ en $R$ la asignación $\alpha \to \alpha x$ define un homomorfismo

$$h_a: R \to X$$

de la grupo aditivo $R$ en el grupo aditivo $X$ . Por lo tanto,

$$0x = 0, (\alpha-\beta)x = \alpha x -\beta x, n(\alpha x) = (n\alpha) x$$

se mantienen para todos los elementos $\alpha, \beta\in R$ y cada número entero $n$ . A través de mediante estos, demuestre que $px=0$ es válida para todos los $x\in X$ si $R$ es de característica $p$ .

Bueno, ya que para un módulo $X$ debemos tener

$$\alpha(x+y) = \alpha x + \alpha y$$

para todos $x,y\in X$

lo que demuestra que $h_a(x+y) = h_a(x) + h_a(y)$ . Pero ¿qué es exactamente el grupo aditivo o $R$ ? ¿Lo he hecho bien?

Como es un homomorfismo, sabemos que $h_a(0) = 0$ Por lo tanto $0x = 0$ , pero ¿qué pasa con $(\alpha-\beta)x = \alpha x -\beta x$ y $n(\alpha x) = (n\alpha) x$ ?

Answer 1

Un anillo $R$ tiene dos operaciones definidas sobre sus elementos, la suma ( $+$ ) y la multiplicación ( $\cdot$ ) con la propiedad de que $R$ es un grupo abeliano bajo adición. Grupo aditivo de $R$ se refiere a este grupo bajo adición. La multiplicación entre elementos de $R$ se ignora al considerar $R$ como un grupo aditivo.

Prefiero denotar el mapa $R\rightarrow X$ definido como $\alpha\mapsto \alpha x$ para un determinado $x\in X$ , por $h_x$ en lugar de $h_a$ (pensando en $h_x$ como $``$ multiplicación por $x"$ ). Este mapa es un homomorfismo entre el grupo aditivo de $R$ y $R$ -Módulo $X$ (de nuevo considerado como un grupo aditivo) porque $$h_x(\alpha+\beta)=(\alpha+\beta)x=\alpha x+\beta x=h_x(\alpha)+h_x(\beta).$$ Ahora bien, como ha señalado, $h_x(0)=0\Rightarrow 0x=0$ y $$h_x(\alpha-\beta)=h_x(\alpha)-h_x(\beta)\Rightarrow (\alpha-\beta)x=\alpha x-\beta x,$$ $$h_x(n\alpha)=nh_x(\alpha)\Rightarrow (n\alpha)x=n(\alpha x).$$