Condición para el par de planos en la geometría tridimensional

Question

Sabemos que la ecuación $ax^2+by^2+cz^2+2hxy+2fyz+2gzx=0$ representa un par de planos si y sólo si $\begin{vmatrix} a& h& g\\ h&b& f\\ g& f&c \end{vmatrix}=0.$ Quería demostrar este resultado. Sean los dos planos de la forma $l_1x+m_1y+n_1z=0$ y $l_2x+m_2y+n_2z=0.$ Entonces tenemos $$ax^2+by^2+cz^2+2hxy+2fyz+2gzx=(l_1x+m_1y+n_1z)(l_2x+m_2y+n_2z)=0.$$ Al comparar los coeficientes de $x, y$ y $z$ ambos lados obtenemos \begin{align*} l_1l_2&=a\\ m_1m_2&=b\\ n_1n_2&=c\\ l_1m_2+l_2m_1&=2h\\ l_1n_2+l_2n_1&=2f\\ m_1n_2+m_2n_1&=2g. \end{align*} Ahora tenemos seis ecuaciones en seis variables. Cómo demostrar que estas ecuaciones tienen una solución no trivial si y sólo si

$\begin{vmatrix} a& h& g\\ h&b& f\\ g& f&c \end{vmatrix}=0?$

Answer 1

Pongo material para resolver $P^T M P = D$ diagonal cuando $M$ es simétrico real en referencia para libros de álgebra lineal que enseñan el método de Hermite inverso para matrices simétricas

Lo anterior es sólo un algoritmo para completar repetidamente el cuadrado.

En cuanto a cómo hacerlo, nos dan una matriz real simétrica, llámala $M.$ Podemos construir una matriz real $P$ con $\det P = \pm 1$ para que $P^T M P = D$ es diagonal. Con el determinante $0$ esto significa que hasta dos entradas no nulas en $D.$ Si tomamos $Q = P^{-1}$ obtenemos $Q^T D Q = M.$ Si nombramos su forma cuadrática $R(x,y,z)$ hemos llegado a $$ \color{blue}{ R(x,y,z) = d_1 (a_1x+b_1 y + c_1z)^2 + d_2 (a_2x+b_2 y + c_2z)^2}$$

Cuando $d_1, d_2$ son ambas positivas o ambas negativas, ambas expresiones lineales deben ser cero y el conjunto cero es una sola línea (real). Cuando $d_1 d_2 < 0$ vemos que $R(x,y,z)$ factores sobre los reales. Se puede escribir $$ A V^2 - B W^2 = (V \sqrt A + W \sqrt B)(V \sqrt A - W \sqrt B) $$