La intersección de dominios de holomorfía es de nuevo un dominio de holomorfía

Question

El problema original es este:

$\{\Omega_j\}_{j\in J}$ es una familia de dominios de holomorfía. Demuestre que $\mathrm{int}\left(\bigcap_{j\in J} \Omega_j \right)$ es un dominio de holomorfía.

Utilicé $\textbf{Cartan-Thullen}$ primero, lo que implica que $U$ es un dominio de holomorfía si y sólo si es holomórficamente convexo.

Ahora puedo demostrar el teorema si $|J|$ es finito por medio del lema que dice:

$$K\subset U\subset V \Longrightarrow\widehat{K}_U \subset \widehat{K}_V.$$

Sin embargo, no puedo demostrar el teorema si $|J|$ no es finito. En concreto, no tengo ni idea de lo que significa aquí el interior de los dominios. Quiero demostrar que el casco convexo no toca la frontera, pero cuando se da el operador interior, muchos puntos desaparecen. Entonces, ¿cómo puedo demostrar que esos puntos no están en el casco convexo?

Gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

Supongo que la cuestión es por dónde quieres empezar. Mi primer instinto sería mirar la función de distancia a la frontera $r(z)$ y demostrar que $- \log r(z)$ es plurisubarmónico. Puedes establecer que la intersección sea una secuencia decreciente. Entonces toma estas funciones para los dominios en esta secuencia y tendrás una secuencia creciente de funciones plurisubarmónicas. Por lo tanto el límite es plurisubarmónico. Eso demuestra que la intersección es Hartogs pseudoconvexa. Por lo tanto es un dominio de holomorfía por una solución del problema de Levi. La ventaja de este enfoque es que es inmediatamente obvio lo que falla en los puntos que no están en el interior. La secuencia de funciones va al infinito.

Answer 2

Puede que no sea la respuesta exacta que esperabas obtener, pero mi sugerencia es que intentes utilizar la siguiente caracterización equivalente de los dominios de holomorfía, que probablemente sea un enfoque más fácil para obtener una solución sencilla:

Un dominio $\Omega\subset\mathbb{C}^n$ es un dominio de holomorfía si y sólo si no existe un dominio $\omega\subset\mathbb{C}^n$ tal que (1) $\omega$ se cruza con $\Omega$ y $\Omega^C$ y (2) existe una componente conectada $\omega_0$ de $\omega\cap\Omega$ tal que para toda función holomorfa $f$ en $\Omega$ existe $f_0\in \mathcal{O}(\omega)$ tal que $f=f_0$ en $\omega_0$ .

Dejemos que $\Omega=\mathrm{int}(\bigcap_j \Omega_j)$ y suponer que no es un dominio de holomorfía. Entonces existe $\omega$ que satisface (1) y (2). Deducir de (1) que existe $j_0\in J$ Satisfaciendo a $\omega\cap\Omega_{j_0}\ne\emptyset$ y $\omega\cap\Omega_{j_0}^C\ne\emptyset$ . (Por lo demás, $\omega$ sería un subconjunto abierto de $\bigcap_j\Omega_j$ y entonces está contenida en el interior de $\bigcap_j\Omega_j$ .) Entonces dejemos que $\omega_0'$ sea el componente conexo de $\omega\cap\Omega_{j_0}$ que contiene $\omega_0$ y comprobar que $\omega_0'$ también satisface (2), con $\Omega$ sustituido por $\Omega_{j_0}$ . Esto implica que $\Omega_{j_0}$ no es un dominio de holomorfía, por lo que obtenemos una contradicción.