Derivados de $G(x)=\int^{e^x}_1(\log(t))^2dt$ y $H(x)=\int^{x^2}_{-x^2}e^{-t^5}dt$

Question

Tengo $2$ tareas:

Para evaluar $G(x)=\int^{e^x}_1(\log(t))^2dt$ para $x\gt 0$ y $H(x)=\int^{x^2}_{-x^2}e^{-t^5}dt$ para $x \in \Bbb R$

Así que por el teorema fundamental del cálculo:

Si $F(x)=\int^x_af$ es diferenciable en $c$ entonces $F'(c)=f(c)$

Y por la FTC de Newton:

$\int^b_af(x)dx=F(b)-F(a)$

Así que lo que hago es :

$G'(x)=(\log(e^x))^2-(\log(1))^2=x^2$

Y

$H'(x)=e^{-x^{10}}-e^{x^{10}}=\frac{1-e^{2x^{10}}}{e^{x^{10}}}$

Pero En la hoja de respuestas, el resultado es:

$G'(x)=\log^2(e^x)e^x=x^2e^x$

Y

$H'(x)=2x(e^{-x^{10}}+e^{-x^{10}})=4xe^{-x^{10}}$

¿Qué estoy haciendo/interpretando mal? Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Está casi en lo cierto. También hay que aplicar la regla de la cadena. Si $F(x) = \int_a^x f(t) dt$ Entonces, en efecto $F'(x) = f(x)$ pero supongamos que $\hat F(x) = \int_a^{x^2} f(t) dt$ . Entonces $\hat F(x) = F(x^2)$ por lo que la regla de la cadena da $$ {\hat F} {'(x)} = \left(\frac{d}{dx} x^2\right)F'(x^2) = 2x f(x^2) \ne f(x^2) $$ ¿Ves cómo resolver el problema ahora?