La cuestión de si una determinada integral tiene una forma cerrada no tiene una respuesta coherente a partir de un practicante para el siguiente. En mi experiencia, sin embargo, hay una posibilidad de que lo hay cuando la integración de los límites incluyen un punto de ramificación o cualquier otra integrable singularidad.
Pero, ¿qué es una forma cerrada? Dicho esto, podemos debatir hasta que se ponga azul de lo que constituye una forma cerrada. En mi humilde opinión, una forma cerrada implica un medio de calcular el valor de la integral que resulta en un menor número de operaciones que simplemente calculando la integral por algunos esquema numérico. Saber cuando esta condición ha sido satisfecha requiere un cierto nivel de familiaridad con las funciones especiales que utilizamos para expresar nuestro resultados de la integración.
Por ejemplo, el fer se considera una forma cerrada, y con razón, porque tenemos sorprendentemente precisa esquemas para el cálculo de la función de error usando muy pocas operaciones. Estos sistemas son mucho más a menudo entonces no hay mucho más eficiente que cualquier esquema de integración numérica, por lo que podemos llamar una forma cerrada.
Por otro lado, consideremos la siguiente respuesta a una pregunta formulada el día de ayer:
$$-{\frac {\,{\mbox{$_3$F$_2$}(1/6,1/2,1/2;\,7/6,3/2;\,1)}\Gamma
\left( 5/6 \right) \Gamma \left( 2/3 \right) -{\pi }^{3/2}}{6 \Gamma
\left( 5/6 \right) \Gamma \left( 2/3 \right) }} $$
Es esta considerado una forma cerrada? Depende. Hay un programa que calcula un hipergeométrica más rápido que el original (doble) integral, que tiene un integrable singularidad? Como no estoy muy familiarizado con tales hypergeometrics, me gustaría tener un tiempo difícil responder a esa pregunta. Mi regla de oro es que, cuando veo alguna hipergeométrica mayor que $_2F_1$ en cualquier resultado, no considero que la forma cerrada porque se ve tan...espeluznante. Las personas que son más versado que yo en estos asuntos pueden siéntase libre de estar en desacuerdo conmigo.
(NOTA: La respuesta real a la pregunta, por cierto, es $\pi/24$, que es un conjunto de otros, la lata de gusanos.)
Por supuesto, podríamos seguir hablando de la noción de computabilidad en general, pero yo prefiero seguir con la idea de la tolerancia y el recuento de las operaciones.
En cualquier caso, espero que estas observaciones no templar el OP del entusiasmo con el trabajo con las integrales como las que él plantea y resuelve aquí, pero será otro reto que le proporcionan más hermosos resultados que pueden ser de utilidad.
