Si nos dan una función cuadrática general en $x, y$ existe la condición de que se pueda resolver en dos factores lineales de la forma $ax+by+c$ . He encontrado la siguiente prueba para esto.
Si tenemos una función cuadrática
$$f(x, y) = ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c$$
Para factorizarla, basta con encontrar las raíces de la ecuación:
$$ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$$
Considerando que se trata de una cuadrática en $x$ y aplicando la fórmula cuadrática se obtiene
$$x = \frac{-(hy + g) \pm \sqrt{(hy+g)^2 - a(by^2 + 2fy + c)}}{a}$$
$$\implies ax + hy + g = \pm \sqrt{(hy+g)^2 - a(by^2 + 2fy + c)}$$
Ahora bien, se afirma que si $f(x, y)$ es el producto de dos factores lineales, la cantidad bajo el signo de la raíz cuadrada debe ser un cuadrado perfecto, es decir, la expresión debe poder resolverse en dos factores lineales idénticos.
Como la expresión bajo la raíz cuadrada es una cuadrática en $y$ podemos establecer su discriminante igual a cero y obtener la condición.
Sin embargo, ¿por qué la expresión debe ser un cuadrado perfecto si la cuadrática tiene dos factores lineales? No he podido entender exactamente la razón de ello.
Si podemos escribir
$$f(x, y) = (px + qy + r)(p'x + q'y + r') = 0$$
Entonces
$$px + qy + r = 0 \implies ax + hy + g = (a-p)x + (h-q)y + (g-r)$$
lo que debería significar que la cantidad bajo el radical es un cuadrado perfecto. Sin embargo, no estoy seguro de que esta sea la razón correcta. Por otra parte, cómo vamos a la inversa, he demostrado que si la cuadrática es resoluble en dos factores lineales entonces la cantidad bajo la raíz cuadrada es un cuadrado perfecto. ¿Cómo puedo demostrar lo contrario?
