¿Cómo se encuentra la distancia de un punto a un plano?

Question

Tengo problemas con esto:

Encuentra la distancia desde el punto $(1,1,1)$ al avión $2x+2y+z=0$ .

¿Alguna idea? Gracias.

Answer 1

La familia de planos, indexada por $\alpha$ $$ f(x,y,z)=2x+2y+z=\alpha $$ son todas paralelas, con vectores normales paralelos a $\nabla f=(2,2,1)$ .

Mover una distancia $d$ a lo largo de la normal significa moverse $d\frac{(2,2,1)}{|(2,2,1)|}$ . Este movimiento cambia $\alpha$ por $d\frac{2\cdot2+2\cdot2+1\cdot1}{|(2,2,1)|}=d|(2,2,1)|$ . Así, la distancia entre dos de estos planos es $\frac{|\Delta\alpha|}{|(2,2,1)|}=\frac{|\Delta\alpha|}{3}$ .

Desde $\alpha=0$ para $2x+2y+z=0$ y $\alpha=2x+2y+z=5$ para el plano que contiene $(1,1,1)$ obtenemos la distancia de $2x+2y+z=0$ a $(1,1,1)$ para ser $\frac{5}{3}$ .

Answer 2

La distancia más corta se conseguirá a lo largo de una línea perpendicular al plano.

El vector normal al plano puede leerse en la ecuación: como el plano es $2x+2y+z=0$ el vector normal del plano es $(2,2,1)$ .

Esto significa que el camino más corto desde $(1,1,1)$ al plano será a lo largo de una línea paralela a $(2,2,1)$ . Es decir, se busca un valor de $t$ tal que $$(1,1,1) + t(2,2,1)$$ se encuentra en el plano. Ese será el punto del plano más cercano a $(1,1,1)$ . Y una vez que se conoce el punto del plano más cercano a $(1,1,1)$ se puede calcular la distancia simplemente utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos.

Answer 3

Siempre uso Coordenadas homogéneas 3D para puntos y planos con las siguientes construcciones:

1. Punto $P=\left| \begin{matrix} \vec{p} & \delta\end{matrix} \right|=\left| \begin{matrix} (p_x,p_y,p_z) & \delta \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} (1,1,1) & 1\end{matrix} \right|$
2. Plano $W=\left| \begin{matrix} \vec{w} & \epsilon \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} (a,b,c) & \epsilon\end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} (2,2,1) & 0 \end{matrix} \right|$
3. Punto Plano Distancia $h=\dfrac{\vec{p}\cdot\vec{w}+\delta\,\epsilon}{\delta\,|\vec{w}|} = \dfrac{(1,1,1)\cdot(2,2,1)+0}{1\,\sqrt{2^2+2^2+1^2}} = \dfrac{5+0}{1*3}=\frac{5}{3}$

NOTA: que la ecuación del plano es $P\cdot W = 0$ $$ P=\left| \begin{matrix} (x,y,z) & 1 \end{matrix} \right|\cdot \left| \begin{matrix} (a,b,c) & \epsilon\end{matrix} \right| = 0 $$ $$ ax+by+cz+\epsilon =0$$