Vector ortogonal a otro vector y coplanario a otros dos

Question

Dejemos que $\underline v = h\underline i+l\underline j-3\underline k=(h, l, -3)$ , $\underline w=\underline i-\underline j-\underline k=(1, -1, -1)$ , $\underline t=\underline i-\underline k=(1, 0, -1)$ y $\underline s=\underline i+\underline j=(1, 1, 0)$ . Para qué valores de $h$ y $l$ es $\underline v$ ortogonal a $\underline s$ y coplanario a $\underline w$ y $\underline t$ ?

1. para todos los pares de $h$ y $l$ Satisfaciendo a $h=-l$ ;
2. para un solo par $(h, l)$ en el que $h$ satisface $h^3-4h^2+9=0$ ;
3. para pares infinitos $(h, l)$ en uno de ellos $h=0$ y $l=2$ ;
4. para un solo par $(h, l)$ en el que $h$ satisface $h^3+2h^2+9=0$ ;
5. Ninguna de las respuestas anteriores.

Mi intento. La condición de que $\underline v$ es coplanario a $\underline w$ y $\underline t$ implica que existen coeficientes $a$ y $b$ tal que $$ \underline v = a\underline w + b\underline t=a(1, -1, -1)+b(1, 0, -1)=(a+b, -a, -a-b). $$ Así que $(a+b, -a,-a-b)=(h, l, -3)$ , de lo que obtenemos $$ a = -l, \quad b = h+l,\quad h = 3. $$ La condición de que $\underline v$ es ortogonal a $\underline s$ implica que $$ \underline v\cdot\underline s =h+l=0, $$ es decir $h=-l$ .

Por lo tanto, creo que la respuesta correcta es $1$ . ¿Es correcto este intento?

Editar. También es probable que responda $2$ puede ser la correcta. Porque si $h=3$ necesariamente $l=-3$ .

Answer 1

Tiene razón, la condición de que $\underline v$ es ortogonal a $\underline s$ implica que $$ \underline v\cdot\underline s =h+l=0, $$ es decir $h=-l$ .

Para que la condición sea coplanaria a $\underline w$ y $\underline t$ podemos utilizar el producto cruzado que es

$$n=w\times t=(1,0,1)$$

y por producto punto

$$v \cdot n = (h,-h,-3)\cdot (1,0,1)=h-3=0\implies h=3$$

Por tanto, la correcta debería ser la opción $2$ .